Barabasi Albert Graph(适用于无标度模型)

简介

Barabasi Albert Graph是一种经典的无标度网络模型，由物理学家Albert-László Barabási和Reka Albert在1999年提出。这个模型是基于无标度网络这个新兴领域的成果，提供了一种生成小世界网络的简单又有效的方法，可以很好地表现出许多复杂网络的特征。它是一种随机网络模型，通过选择节点度数为依据来不断地加入新节点，模拟了现实世界中一个新节点连向已有节点的过程。

原理

Barabasi Albert Graph的生成过程包括以下几个步骤：

1. 生成初始连通图，通常为一个节点或者一条边；
2. 按照度数大小选择节点，以概率 $p_i=k_i/\sum_j k_j$ 连接到已有节点上，其中 $k_i$ 为该节点的度数；
3. 重复进行步骤2。

这个模型的关键在于选择哪些节点进行连接。按照度数越大的节点概率越高进行连接的规则，保证了网络具有无标度性质，即度数分布呈幂律分布，具有大量的低度节点和少量的高度节点，能够很好地解释许多现实世界中的复杂网络。

实现

Python实现该模型，可以使用networkx库自带的函数，如下：

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一个初始节点个数为m的完全图
m = 5
G = nx.complete_graph(m)

# 迭代加入新节点
for i in range(m, 50):
    # 按照度数大小选择节点
    node = list(G.nodes())
    p = [G.degree(j) / sum(dict(G.degree()).values()) for j in node]
    # 选择节点连接
    chosen_node = np.random.choice(node, p=p)
    G.add_edge(i, chosen_node)

# 绘制网络
pos = nx.spring_layout(G)
nx.draw_networkx_nodes(G, pos, node_size=100)
nx.draw_networkx_edges(G, pos)
plt.axis('off')
plt.show()

结论

通过上面的实现，可以看到Barabasi Albert Graph模型生成的结果具有无标度性质，网络中拥有大量的低度节点和少量的高度节点。实际应用中，该模型可以用来展示社交网络、物流网络等在结构上非常相似的系统。