门|门 IT 2005 | 第 90 题

本题来自于 门|门 IT 2005，是一道经典的贪心算法问题。在解题过程中需要用到一些基本的算法知识，如贪心思想、排序、数学等。

问题描述

为了让大家更好地理解题目背景，我们先来看一下一组数的 中位数(median) 的定义：

• 如果该组数的个数为奇数，则中位数为这个数列中间那个数；
• 如果该组数的个数为偶数，则中位数为排序后中间那两个数的平均值。

例如，对于数列 {11, 7, 19, 20, 12}，其中位数为 12。

现在，给你一组数，你需要判断该数列是否存在一个数 x，使得把这组数中所有小于等于 x 的数和大于 x 的数分别放到两个集合 S 和 T 中，使得 S 的大小比 T 的大小大 1，并且 S 中所有数的和小于 T 中所有数的和。如果存在，则输出 x 的值，否则输出 -1。

解题思路

显然，如果能够找到一个 x 使得上述条件成立，则必须满足以下两个条件：

1. 数组中存在一个数使得该数小于等于 x；
2. 数组中存在一个数使得该数大于 x。

同时，我们想让 S 的大小比 T 的大小大 1，并且 S 中所有数的和小于 T 中所有数的和，那么就要尽可能选择比 x 小的数放到 S 集合中，比 x 大的数放到 T 集合中。根据贪心算法的思想，我们要优先选择能够满足条件 1 和 2 的数，并且要尽可能选择那些和 x 差距较小的数。因此，我们首先想到对数组进行排序，并依次扫描，判断是否满足上述两个条件。

另外，我们还可以使用数学推导的方法来简化该问题。设 x 是要求的中位数，数组中小于等于 x 的数的个数为 s，大于 x 的数字个数为 t，数组元素的和为 sum（假设数组中所有元素都不相等，否则需要去重）。由题意可知，s = t + 1 且 Sum({数组中所有小于等于 x 的元素}) < Sum({数组中所有大于 x 的元素})，则有以下两个条件：

1. x 必须大于数组中最小的数，否则无法满足条件 1；
2. x 必须小于数组的平均值，否则无法满足条件 2。

因此，我们可以先对数组进行排序，然后使用二分查找的方法来查找最小的满足条件 1 的数和最大的满足条件 2 的数之间的一个数 x，判断该数是否满足条件 1 和 2 即可。

代码实现

以下是使用排序和扫描的实现方式：

def find_median(arr: List[int]) -> int:
    arr.sort()
    n = len(arr)
    s, t = 0, n - 1
    while s < t:
        x = arr[s]
        y = arr[t]
        if x <= y:
            s += 1
            t -= 1
        else:
            break
    if s == t and arr[s] > arr[0]:
        return arr[s]
    else:
        return -1

以下是使用数学推导和二分查找的实现方式：

import bisect

def find_median(arr: List[int]) -> int:
    arr.sort()
    n = len(arr)
    s, t = 0, n - 1
    avg = sum(arr) / n
    l = bisect.bisect_left(arr, min(arr) + 1)
    r = bisect.bisect_right(arr, avg)
    for i in range(l, r):
        if arr[i] > avg:
            r = i
            break
    for i in range(r - 1, l - 1, -1):
        if arr[i] <= avg:
            l = i + 1
            break
    for i in range(r, n):
        if sum(arr[l:i]) >= sum(arr[i:]):
            return arr[i - 1]
    return -1

需要注意的是，由于数组中可能会有相同的元素，因此在使用二分查找时需要使用 bisect 模块的 bisect_left 和 bisect_right 方法来查找最小的满足条件 1 的数和最大的满足条件 2 的数之间的区间。另外，如果所有元素的值都相同时，需要特判输出 -1 的情况。