GATE-CS-2005 | 第 90 题

题目描述

有一个只由 0 和 1 构成的字符串 S，现在你需要删除其中一些 0 和 1，使得剩下的字符串仅包含一种字符，即仅有 0 或仅有 1。你可以进行任意次操作，每次操作将字符串中的某些字符删除。请问至少需要删除多少个字符才能满足要求？

解题思路

假设字符串 S 的长度为 n，我们可以从两个方面考虑这个问题。

方法 1：暴力枚举

我们可以枚举删除的字符集合，然后计算删除这些字符后得到的字符串是否统一，如果统一则记录下来该方案删除的字符数。最后从所有的方案中选取删除字符数最小的一个作为答案。

这种方法的时间复杂度是 $O(2^n * n)$，其中 $2^n$ 表示枚举的方案数，n 表示计算每个方案所需的时间。

方法 2：动态规划

我们可以将字符串 S 的删除操作分为两类：删除 0 和删除 1。那么我们可以分别计算出每次删除操作后剩余的字符串中，0 和 1 的个数。

设 dp[i][0] 表示从 S 的前 i 个字符中删除一些字符得到的字符串中，0 的个数最少为多少个；dp[i][1] 表示从 S 的前 i 个字符中删除一些字符得到的字符串中，1 的个数最少为多少个。

假设 S 的第 i 个字符为 ch，那么我们可以得到以下的状态转移方程：

• 当 ch = '0' 时：dp[i][0] = min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + 1)；
• 当 ch = '1' 时：dp[i][1] = min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + 1)。

最终的答案为 min(dp[n][0], dp[n][1])。

这种方法的时间复杂度为 $O(n)$。

参考代码

下面给出方法 2 的参考代码：

int minDeletions(String S) {
    int n = S.length();
    int[][] dp = new int[n + 1][2];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        char ch = S.charAt(i - 1);
        dp[i][0] = dp[i - 1][0];
        dp[i][1] = dp[i - 1][1];
        if (ch == '0') {
            dp[i][0] = Math.min(dp[i][0], dp[i - 1][1] + 1);
        } else {
            dp[i][1] = Math.min(dp[i][1], dp[i - 1][0] + 1);
        }
    }
    return Math.min(dp[n][0], dp[n][1]);
}

值得注意的是，上面的代码中，我们使用了一种很别扭的写法：将 dp 数组的下标从 1 开始，而不是从 0 开始。这是因为我们在 dp 数组中表示的是字符串 S 的前 i 个字符，所以要从 1 开始计数。