题目介绍：GATE-CS-2017（套装1）- 题目 52

这道题目是一道典型的计算机科学领域的题目，需要一定的数据结构和算法基础。本题需要考生完成一个程序，用来解决两个问题：找到最长连续的子序列和，以及找到限制条件下的子序列和最大值。

题目要求

编写一个程序，接受一个长度为 $n$ 的整数数组 $A$ ，以及一个整数 $k \leq n$ ，并输出两种结果：

• $A$ 的最长连续的子序列和
• $A$ 限制条件下，长度为 $k$ 的子序列的最大和

数据输入

程序接受两个参数：

• $A$：长度为 $n$ 的整数数组，用于处理
• $k$：一个整数，限制条件下的子序列长度

数据输出

程序输出两行结果：

• 第一行输出 $A$ 的最长连续的子序列和
• 第二行输出 $A$ 中长度为 $k$ 的子序列的最大和

注意：这里的最大和指的是子序列中元素的和

算法思路

求最长连续的子序列和

最长连续的子序列和是一个比较经典的问题，有多种不同的解法。这里我们介绍一种时间复杂度为 $O(n)$ 的算法。

算法思路如下：

1. 初始化两个变量：$cur_sum$ 和 $max_sum$，它们分别表示当前连续子序列的和和最大连续子序列和，初始值均为 $A_0$。
2. 从 $A_1$ 开始遍历整个数组，对于每个元素 $A_i$，执行以下操作：
   • 如果 $cur_sum + A_i > A_i$，说明当前元素可以被添加到当前子序列中，更新 $cur_sum = cur_sum + A_i$。
   • 否则，当前元素不能被添加到当前子序列中，当前子序列已经断开，更新 $cur_sum = A_i$。
   • 判断更新后的 $cur_sum$ 是否大于 $max_sum$，如果是，更新 $max_sum = cur_sum$。
3. 返回 $max_sum$ 即为最长连续的子序列和。

求限制条件下的子序列和最大值

求解限制条件下的最大值也是一道比较经典的问题。这里介绍一种时间复杂度为 $O(n)$ 的算法。

算法思路如下：

1. 先计算出数组 $A$ 的前缀和数组 $pre$，其中 $pre_i = \sum_{j=0}^{i} A_j$。
2. 初始化变量 $max_sum$ 为 $pre_{k-1}$，表示长度为 $k$ 的子序列的最大和。
3. 从 $k$ 开始遍历前缀和数组 $pre$，对于每个 $pre_i$，执行以下操作：
   • 如果 $pre_i - pre_{i-k} > max_sum$，说明找到了比当前最大和更大的子序列，更新 $max_sum = pre_i - pre_{i-k}$。
4. 返回 $max_sum$，即为长度为 $k$ 的子序列的最大和。

代码实现

接下来是本题的代码实现，使用 Python 语言编写：

def maxSubarray(A, k):
    n = len(A)
    cur_sum = max_sum = A[0]
    
    # 求最长连续子序列和
    for i in range(1, n):
        cur_sum = max(A[i], cur_sum + A[i])
        max_sum = max(max_sum, cur_sum)
    print(max_sum)
    
    # 求限制条件下的子序列和最大值
    pre = [0] * n
    pre[0] = A[0]
    for i in range(1, n):
        pre[i] = pre[i-1] + A[i]
        
    max_sum = pre[k-1]
    for i in range(k, n):
        max_sum = max(max_sum, pre[i] - pre[i-k])
    print(max_sum)

总结

本题考察了求最长连续的子序列和和求限制条件下的子序列和最大值两个问题，分别涉及到不同的算法思路和数据结构。解决这类问题的关键在于运用适当的算法，根据不同需求选择不同的数据处理方式。