GATE-CS-2017（套装2）|问题 8

该题目涉及到字符串的处理以及算法设计的能力。

题目描述

给定$n$个字符串$S_1,S_2,……,S_n$，每个字符串都只包含小写字母，长度不超过100。思考一个算法，找到一个长度不少于$k$的最短子串，满足其中的每个字符都至少在$n$个字符串中出现过一次。

例如：对于输入字符串集合{"abcde", "babcdef", "bcd"}，如果$k=4$，那么最短子串为"bcde"。

请你设计该算法，并给出算法伪代码。

题目分析

根据题目的要求，我们需要找到一个最短子串，满足其中的每个字符都至少在$n$个字符串中出现过一次。这启示我们可以使用 滑动窗口算法。算法的过程如下：

1. 初始化一个窗口，左索引为0，右索引为$k-1$，记录窗口中每个字符出现的个数。
2. 从左到右扫描字符串，每当遇到一个字符时，将该字符出现的次数加1。
3. 当某个字符的出现次数等于$n$时，将窗口左索引向右移动一位，并记录当前的最短子串。
4. 当窗口的右索引达到字符串的末尾，算法结束。

伪代码

def find_shortest_substring(s: List[str], k: int) -> str:
    # 统计字符串集合中各个字符的出现次数
    char_freq = {}
    for string in s:
        for char in string:
            if char not in char_freq:
                char_freq[char] = 0
            char_freq[char] += 1

    # 初始化窗口
    left = 0
    right = k - 1
    window_freq = {}
    for i in range(left, right + 1):
        if s[i] not in window_freq:
            window_freq[s[i]] = 0
        window_freq[s[i]] += 1

    # 滑动窗口算法
    min_window = ''
    while right < len(s):
        # 检查当前窗口是否符合要求
        valid_window = True
        for key in char_freq.keys():
            if key not in window_freq or window_freq[key] < char_freq[key]:
                valid_window = False
                break
        if valid_window:
            # 当前窗口符合要求，更新最短子串
            curr_window = s[left:right + 1]
            if min_window == '' or len(curr_window) < len(min_window):
                min_window = curr_window
            
            # 左端点向右移动
            if s[left] in window_freq:
                window_freq[s[left]] -= 1
            left += 1
        else:
            # 右端点向右移动
            right += 1
            if right < len(s):
                if s[right] not in window_freq:
                    window_freq[s[right]] = 0
                window_freq[s[right]] += 1

    return min_window

时间复杂度分析

该算法的时间复杂度主要由两部分组成。第一部分是统计字符串集合中各个字符的出现次数，需要扫描所有字符串中的所有字符，时间复杂度为$O(nk)$。第二部分是滑动窗口算法，需要从左到右扫描字符串，并维护一个窗口内各个字符的出现次数，时间复杂度为$O(nk)$。因此，总的时间复杂度为$O(nk)$。

总结

本题考查了字符串的处理以及算法设计的能力，要求考生理解滑动窗口算法，并能够灵活运用该算法解决实际问题。