计算给定长度 N 的特殊字符串的数量

问题描述

给定一个长度为 N 的字符串 S，字符串 S 中的字符可以是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的任意一个，但要满足以下条件：

• 字符串 S 中不存在连续的 0。
• 如果字符 i 在字符串 S 中出现，那么字符 i+1 不能在字符串 S 中出现，例如字符串 "010" 是合法的，但字符串 "0123" 不合法。

现在要求编写一个程序，计算出符合上述要求的长度为 N 的字符串个数。为了防止数字过大，结果需要对 10^9 + 7 取模。

解决方案

分析

这道题本质上是一道动态规划问题。我们可以首先考虑一些简单情况，例如当 N = 1 时，符合条件的字符串个数为 10；当 N = 2 时，符合条件的字符串个数为 91，可以用以下方式列出：

• 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09
• 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
• 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
• ...
• 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

对于长度为 N 的字符串，可以考虑分成两类：

• 以 1 开头的字符串。
• 不以 1 开头的字符串。

对于第一类字符串来说，长度为 N 的字符串可以分成两种情况：

• 如果第二个字符是 0，则第一个字符只能是 1，因为不允许存在连续的 0。
• 如果第二个字符不是 0，则第一个字符可以是任意一个不是 1 的数字。

对于第二类字符串来说，可以看做是在长度为 N-1 的字符串后面插入一个数字，且这个数字不能和前一个数字相同且不能是 1。

动态规划

我们用 $f(n)$ 表示长度为 n 的符合要求的字符串数量，那么状态转移方程就是：

$$ f(n) = f(n-1) * (8+f(n-2)) $$

其中 $f(n-1)$ 表示在以任意一个数字结尾的长度为 n-1 的字符串后面插入一个数字，一共有 8 种可能（0 ~ 9 中除了前一个数字以外的 8 种数字），加上 $f(n-2)$ 表示长度为 n-2 的字符串后面分别加上两个数字组成新的长度为 n 的字符串。

代码实现

def count_special_string(n):
    mod = 1000000007
    if n == 1:
        return 10
    pre, curr = 10, 91
    for i in range(3, n+1):
        # 状态转移方程
        pre, curr = curr, (pre * (8+curr)) % mod
    return curr

总结

本题是一道比较典型的动态规划题目，需要熟练掌握动态规划的求解方法和技巧。在实现代码时，需要注意数值溢出问题和对结果取模。