问题描述

给定一个 $n \times m$ 的网格，你可以从任意单元格出发进行 K 次垂直或水平跳跃，计算出最多可以到达的单元格数量。

解决方案

首先，我们需要定义一个能够在 K 次垂直或水平跳跃内遍历网格的算法。为此，我们将采用深度优先搜索算法，该算法将从起始单元格开始，尝试从它可达范围内的所有单元格移动，并在递归过程中记录已经访问过的单元格。

对于每个访问过的单元格，我们可以使用动态规划算法记录从该单元格开始所能到达的最大单元格数。由于我们在采用深度优先搜索遍历时，从一个单元格开始遍历可能会反复遍历到该单元格，因此为了避免重复遍历导致的性能损失，我们需要利用动态规划算法中的记忆化技术，记录已经计算出的值。

实际上，对于每个访问过的单元格，我们只需要计算其后继单元格所能到达的最大单元格数，并将其与当前单元格所能到达的最大单元格数相加即可得到该单元格所能到达的最大单元格数。这个过程可以描述为以下的递推式：

$$dp_{i,j} = \max_{i' \in [i-K, i+K], j' \in [j-K, j+K]}(dp_{i',j'} + 1),$$

其中 $dp_{i,j}$ 记录了从 $(i,j)$ 开始，可以到达的最大单元格数。注意到，我们需要对于所有合法的 $(i',j')$ 进行遍历，这个过程需要 $\mathcal{O}(K^2)$ 的时间，因此总时间复杂度为 $\mathcal{O}(nmK^2)$。空间复杂度也是同样的，因为我们需要使用和网格同样大小的数组来记录 $dp$。

代码实现

以下是使用 Python 语言实现的代码：

def max_cells(grid, k):
    n, m = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0] * m for _ in range(n)]

    def dfs(i, j, visited):
        if i < 0 or j < 0 or i >= n or j >= m or visited[i][j] or k < 0:
            return 0
        if dp[i][j]:
            return dp[i][j]
        visited[i][j] = True
        res = 1
        for x, y in [(i+1,j), (i-1,j), (i,j+1), (i,j-1)]:
            res = max(res, dfs(x, y, visited) + 1)
        visited[i][j] = False
        dp[i][j] = res
        return res

    ans = 0
    visited = [[False] * m for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            ans = max(ans, dfs(i, j, visited))
    return ans

其中，grid 为输入的网格，k 为跳跃次数。函数 dfs 为深度优先搜索函数，dp 数组为动态规划数组，visited 数组为记录已经访问过的单元格的数组。函数 max_cells 返回可以到达的最大单元格数。

总结

本文介绍了如何计算网格中可以到达的最大单元格数，假设有 K 次垂直或水平跳跃的限制条件。我们通过深度优先搜索和动态规划算法实现了这个计算过程，并对算法进行了复杂度分析。如果有大规模的网格需要处理，这个算法的时间复杂度可能会过高，这时候可以考虑其他的优化方法如启发式搜索来进一步提升算法的性能。