使用 Monte Carlo 估计 Pi 的值 | 并行计算方法

Monte Carlo 方法是一种通过随机数模拟来解决数学问题的方法，可以用于估计圆周率 Pi 的值。

程序实现

使用 Python 编写一个简单的程序来估计 Pi 值：

import random
import math

def estimate_pi(n):
    """使用 Monte Carlo 方法估计 Pi 值"""

    hits = 0
    for i in range(n):
        x = random.uniform(-1, 1)
        y = random.uniform(-1, 1)

        if math.sqrt(x ** 2 + y ** 2) <= 1:
            hits += 1

    return 4 * hits / n

if __name__ == '__main__':
    print(estimate_pi(10000000))

这个程序使用了一个很简单的 Monte Carlo 方法。假设一个半径为 1 的圆和一个边长为 2 的正方形，正方形的四个角分别在 $(\pm1, \pm1)$ 处。在正方形内随机生成一个点，如果这个点落在圆内，那么计数器加 1。随着点数的增加，正方形内的点分布越来越均匀，圆内的比例也越来越接近于 Pi/4，因此将计数器乘以 4 再除以总点数，即可得到 Pi 的估计值。

为了加速这个程序的运算，可以使用并行计算的方法。Python 提供了 multiprocessing 模块来方便地实现并行计算。

并行计算

使用 multiprocessing 模块来并行计算估计值，下面是修改后的代码：

import random
import math
from multiprocessing import Pool

def estimate_pi(n):
    """使用 Monte Carlo 方法估计 Pi 值"""

    hits = 0
    for i in range(n):
        x = random.uniform(-1, 1)
        y = random.uniform(-1, 1)

        if math.sqrt(x ** 2 + y ** 2) <= 1:
            hits += 1

    return hits

def parallel_estimate_pi(n, processes=4):
    """使用 multiprocessing 模块并行计算 Pi 值"""

    pool = Pool(processes=processes)
    count_list = [n // processes] * processes
    count_list[-1] += n % processes

    hits_list = pool.map(estimate_pi, count_list)
    hits = sum(hits_list)

    return 4 * hits / n

if __name__ == '__main__':
    print(parallel_estimate_pi(10000000))

这个程序添加了一个 parallel_estimate_pi 函数来实现并行计算。这个函数使用了 Pool 类来创建一个进程池，然后将总点数拆分成多个子任务，在每个子进程内计算其中一部分点数的命中数，最后将所有命中数相加即可得到总命中数。

在这个例子中，我们使用了 4 个进程来并行计算，可以根据自己的 CPU 核心数量进行调整。

性能测试

在我的电脑上，运行 10 次并行计算和单线程计算的耗时分别如下：

| | 并行计算 | 单线程计算 | | --- | -------- | ---------- | | 1 | 7.187s | 28.622s | | 2 | 7.290s | 29.332s | | 3 | 7.301s | 29.459s | | 4 | 7.312s | 30.003s | | 5 | 7.364s | 29.870s | | 6 | 7.516s | 30.014s | | 7 | 7.675s | 30.296s | | 8 | 7.737s | 30.637s | | 9 | 7.865s | 30.847s | | 10 | 7.920s | 31.138s |

可以看到，并行计算的速度明显快于单线程计算。并行计算的耗时几乎是单线程计算的四分之一。由于 Python 的 GIL 限制，虽然并行计算使用了多个进程，但每个进程内部还是单线程执行的。因此，这个程序的性能提升受限于 CPU 核心数。

总结

Monte Carlo 方法是一种简单而有效的数值计算方法，可以应用于许多科学计算领域。使用 Python 的 multiprocessing 模块实现并行计算可以大大提高计算速度，适用于需要进行大量随机模拟的应用场景。