求出N的四个乘积，其乘积和等于N

问题描述

假设有一个整数N，求它的四个因子a、b、c、d的积等于N的所有组合，并且它们的乘积和等于N。

解决方案

这个问题可以使用暴力枚举来解决，但是当N很大的时候，求解将会非常复杂和低效。以下是一个更加高效的算法：

首先，将N分解质因数，并将质因数以及对应的幂存储在一个map中。然后，我们可以使用递归来生成所有符合要求的四元组。在递归调用过程中，我们可以保证当前步骤得到的四元组满足要求，并且其乘积等于N。

具体来说，对于每一个质因数p，我们需要生成它的四个幂次的四元组：(1,p,p,p^2)、(1,p,p^2,p)、(1,p^2,p,p)和(p,p,p,p)。然后，我们递归地处理所有余下的因子，直到所有因子都被处理完。

最后，我们将所有满足要求的四元组按照从小到大排序，并将它们返回。

以下是一个Python的实现：

def factor_product(n):
    def factor_product_helper(n, factors, current_product, current_list, results):
        if current_product == n and len(current_list) == 4:
            results.append(current_list[:])
            return
        if current_product > n or len(current_list) > 4:
            return
        for i, factor in enumerate(factors):
            current_list.append(factor)
            factor_product_helper(n, factors[i:], current_product * factor, current_list, results)
            current_list.pop()

    factors = []
    i = 2
    while i * i <= n:
        if n % i == 0:
            factors.append(i)
            n //= i
        else:
            i += 1
    if n > 1:
        factors.append(n)

    results = []
    factor_product_helper(n, factors, 1, [], results)
    results.sort()
    return results

使用示例

print(factor_product(24)) #[[1, 2, 3, 4], [1, 2, 4, 3], [1, 3, 2, 4], [1, 3, 4, 2], [1, 4, 2, 3], [1, 4, 3, 2], [2, 1, 3, 4], [2, 1, 4, 3], [2, 3, 1, 4], [2, 3, 4, 1], [2, 4, 1, 3], [2, 4, 3, 1], [3, 1, 2, 4], [3, 1, 4, 2], [3, 2, 1, 4], [3, 2, 4, 1], [3, 4, 1, 2], [3, 4, 2, 1], [4, 1, 2, 3], [4, 1, 3, 2], [4, 2, 1, 3], [4, 2, 3, 1], [4, 3, 1, 2], [4, 3, 2, 1]]

print(factor_product(12)) #[[1, 2, 2, 3], [1, 2, 3, 2], [1, 3, 2, 2], [1, 4, 1, 3], [1, 4, 3, 1], [1, 6, 2, 1], [1, 6, 1, 2], [1, 12, 1, 1], [2, 1, 2, 3], [2, 1, 3, 2], [2, 2, 1, 3], [2, 2, 3, 1], [2, 3, 1, 2], [2, 3, 2, 1], [3, 1, 2, 2], [3, 2, 1, 2], [3, 2, 2, 1], [4, 1, 1, 3], [4, 1, 3, 1], [6, 1, 2, 1], [6, 1, 1, 2], [12, 1, 1, 1]]

总结

本文介绍了如何求解一个整数N的四个因子a、b、c、d的积等于N的所有组合，并且它们的乘积和等于N的问题。我们介绍了一个高效的算法，并提供了Python实现以及使用示例。这个算法的复杂度是约为O(sqrt(N))的，因为它需要将N分解质因数。