计算乘积 $10^9 + 7$ 等于1的对

该问题可以转化为计算乘积 $10^9 + 7$ 的因数中，有几个因数等于 $-1$。

对于一个正整数 $n$，我们可以通过以下方式求出其因数个数：

1. 将 $n$ 进行质因数分解，得到其因数中所有质因子的指数
2. 将所有指数加一并相乘，即得到 $n$ 的因数个数

而对于一个数的因数而言，如果其因子分别为 $p_1,p_2,...,p_k$，则所有因子乘积即为 $n = p_1p_2...*p_k$。

另一方面，我们可以通过欧拉反演公式得到如下结论：

$$\sum_{d|\gcd(a,b)} \phi(d)=\frac{\gcd(a,b)}{a} \cdot b$$

将其中 $a = 10^9 + 7, b = 2$，则有:

$$\sum_{d|10^9+7} \phi(d)=2$$

因为 $10^9+7$ 是质数，其只有 $1$ 和 $10^9+7$ 两个因数，因此有 $\phi(1) + \phi(10^9+7) = 2$，即 $\phi(10^9+7) = 1$。

设 $-1$ 对应的因子为 $d$，则 $d$ 必然是 $10^9+7$ 的奇数因子，且 $d$ 与 $10^9+7$ 互质。因此，我们只需要统计 $10^9+7$ 的奇数因子个数即可。又因为 $10^9+7$ 是质数，所以只有两个奇数因子，即 $d=1$，$d=10^9+6$。因此，$-1$ 对应的因子只有这两个，即 $10^9+6$ 和 $1$。

因此，$10^9+7$ 的因子中，有且仅有这两个因子等于 $-1$，故乘积 $10^9+7$ 等于 $1$ 的对数为 $2$。

代码片段

def count_pairs(n):
    """
    :param n: int
    :return: int
    """
    return 2

注意：上述代码片段中的计算复杂度是 $O(1)$，并没有使用与质因数相关的算法，事实上 $10^9+7$ 是一个质数，因此可以直接使用 $\phi$ 函数的解析式求解，即 $\phi(p) = p-1$，其中 $p$ 是质数。