门 | Sudo GATE 2021 测验 |第 34 题

本题考察迭代算法。题目描述如下：

给定一个M*N的01矩阵，每个位置要么是0要么是1。现在定义一个操作，将一个0变成1并将与它相邻的1改为0。问最少需要执行多少次操作才能使整个矩阵中的全部0变为1。

例如，对于下面的4*4矩阵：

1 0 0 1 
0 0 1 0
0 0 0 0
1 0 0 1

最少需要执行3次操作才能使全部0变成1。一种可行的方案如下（第1次操作将右上角的0变为了1，第2次操作将右下角的0变为了1，第3次操作将左下角的0变为了1）：

1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1

请实现以下函数：

    def min_ops(matrix: List[List[int]]) -> int:
        pass

函数参数是一个M*N的01矩阵；函数返回值是最少需要执行多少次操作才能使整个矩阵中的全部0变为1。

算法思路

使用迭代算法求解。每一次从矩阵中找到一个0，并将它与相邻的1一起修改。修改的过程可以采用DFS或BFS。

我们可以构建一个队列，将每一次操作的结果放入队列。如果队列中存在所有元素都是1的矩阵，则说明操作结束。

具体步骤如下：

1. 遍历矩阵，如果遇到0，将它的坐标加入一个列表中。
2. 对于列表中的每个坐标，分别进行以下操作： a. 将该坐标的值设为1； b. 遍历与该坐标相邻的四个位置（左、右、上、下），如果该位置的值为1，则将其设为0；
3. 将修改后的矩阵加入队列；
4. 重复步骤2和3，直至队列中存在所有元素都是1的矩阵；
5. 返回队列长度-1。

代码实现

from typing import List

def min_ops(matrix: List[List[int]]) -> int:
    # 构造四联通坐标偏移数组
    directions = [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)]
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    queue = []

    def bfs(matrix: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if matrix[i][j] == 0:
                    # 将0元素的坐标加入列表中
                    queue.append((i, j))

        step = 0
        while queue:
            # 记录队列长度，即本轮需要修改的元素个数
            size = len(queue)
            # 本轮修改的元素个数加入step
            step += 1
            for i in range(size):
                x, y = queue.pop(0)
                matrix[x][y] = 1
                # 四联通判断
                for dx, dy in directions:
                    nx, ny = x + dx, y + dy
                    if 0 <= nx < m and 0 <= ny < n and matrix[nx][ny] == 1:
                        matrix[nx][ny] = 0
                        queue.append((nx, ny))

            # 如果此时矩阵内全是1，则返回step
            if all(all(row) for row in matrix):
                return step

        return -1

    return bfs(matrix)

复杂度分析

由于每个元素只会被修改一次，因此时间复杂度为$O(mn)$，其中m和n分别为矩阵的行数和列数。

空间复杂度为$O(mn)$，其中m和n分别为矩阵的行数和列数，主要是存储列表和队列所占用的空间。