计数长度为N的二进制字符串

问题描述

给定一个长度为 $N$ 的二进制字符串，要求该字符串中偶数设置为偶数，并且最多为 $K$ 个连续的 $1s$。请计算符合条件的字符串数量。

解题思路

将问题拆分为两个子问题：第一个子问题为如何计数符合“偶数设置为偶数”的字符串数量；第二个子问题为如何计数符合“最多为 $K$ 个连续的 $1s$”条件的字符串数量。最后，将两个子问题的计数结果相乘即为所求。

子问题一：偶数设置为偶数的字符串计数

对于一个长度为 $N$ 的二进制字符串，若偶数位置为 $1$，则该位置的值必须为 $0$，反之亦然。因此，对于这个子问题，我们可以按照如下步骤计算：

1. 初始化答案为 $1$；
2. 对于 $i=0$ 至 $N-1$，若 $i$ 为偶数，则将答案乘 $1$，否则将答案乘 $0$。

经过上述步骤，所得到的答案即为偶数设置为偶数的字符串数量。

子问题二：最多为 $K$ 个连续的 $1s$ 的字符串计数

我们可以使用动态规划解决这个子问题。设 $f_{i,0}$ 表示长度为 $i$，且结尾不是 $1$ 的二进制字符串的数量，$f_{i,1}$ 表示长度为 $i$，且结尾是 $1$ 的二进制字符串的数量。则根据 $f_{i-1}$ 可以计算得到 $f_i$：

$$\begin{aligned} f_{i,0} &= f_{i-1,0} + f_{i-1,1}\ f_{i,1} &= f_{i-1,0}, \ i \leq K\ f_{i,1} &= f_{i-1,0} + f_{i-1,1}, \ i > K \end{aligned}$$

其中，当 $i \leq K$ 时，结尾为 $1$ 的字符串数量不能超过 $K$ 个，因此只能由结尾不是 $1$ 的字符串转移得到；当 $i > K$ 时，结尾为 $1$ 的字符串数量可以超过 $K$ 个，因此可以由结尾是 $1$ 和结尾不是 $1$ 的字符串转移得到。

最后，符合条件的字符串数量即为长度为 $N$，且结尾不是 $1$ 的字符串数量和结尾是 $1$ 的字符串数量之和。

代码实现

以下为代码实现，假设变量 $N$ 和 $K$ 已经被赋值为问题描述中的参数值。

# 计算偶数设置为偶数的字符串数量
ans = 1
for i in range(N):
    if i % 2 == 0:
        ans *= 1
    else:
        ans *= 0

# 计算最多为K个连续的1s的字符串数量
f = [[1, 1] for _ in range(N)]
for i in range(1, N):
    f[i][0] = f[i-1][0] + f[i-1][1]
    if i <= K:
        f[i][1] = f[i-1][0]
    else:
        f[i][1] = f[i-1][0] + f[i-1][1]
res = f[N-1][0] + f[N-1][1]

# 计算符合条件的字符串数量
ans *= res

print(ans)

以上代码的时间复杂度为 $O(N)$。