包含给定尺寸的 N 个非重叠矩形的最小正方形的大小

在计算机科学领域，有一些与矩形相关的算法问题很重要，其中包括给定一组矩形，找到一个最小的正方形，使得所有的矩形能够放入其中，且不重叠。

问题描述

该问题被称为“最小面积覆盖矩形问题”，给定 $N$ 个矩形，要求找到一个最小的正方形，使得所有的矩形都能够放入其中，且不重叠。

举个例子，当给定以下三个矩形时：

矩形1： 宽4，高5
矩形2： 宽2，高3
矩形3： 宽3，高3

我们可以将它们放入一个边长为 7 的正方形中，如下所示：

0  1  2  3  4  5  6
┌──┬──●──┬──┐
│  │     │  │0
├──●─────┤  │1
│  │     │  │2
├──┼─────○──┤
│  │     │  │3
├──┼─────┼──●
│  │     │  │4
└──┴──┬──┴──┘
      5

可以看到，这个边长为 7 的正方形可以完美地容纳所有三个矩形，且它是最小的正方形。

解决方案

要解决该问题，可以采用贪心算法逐步缩小正方形的边长。具体而言，可以按以下步骤执行：

1. 按照矩形的宽和高分别计算出它们在正方形中的最小边长 $l_i$。
2. 取所有 $l_i$ 中的最大值，作为正方形的边长。

下面是一个 Python 代码片段，实现了该算法：

def find_min_square_area(rectangles):
    max_edge = 0
    for r in rectangles:
        max_edge = max(max_edge, max(r[0], r[1]))
    return max_edge ** 2

该代码片段接受一个包含所有矩形尺寸的列表 rectangles，并返回最小正方形的面积。

性能分析

由于该算法的时间复杂度为 $O(N)$，因此它非常高效。但是，排序算法也需要一定的时间来对所有矩形的尺寸进行排序，因此总的运行时间可能会略有增加。

结论

在本文中，我们介绍了一个非常重要的计算机科学问题：给定一组矩形，找到一个最小的正方形，使得所有的矩形均可以容纳其中，且不重叠。我们通过一个具体的例子，并给出了该问题的解决方案。该算法的时间复杂度为 $O(N)$，因此非常高效。