给定大小的两个非重叠子数组的最大和

简介

给定一个长度为n的数组arr，将其分为两个长度为n1和n2的非重叠子数组，使得它们的和分别最大，输出这两个子数组的最大和。

解法

动态规划

首先，将问题转化为求出长度为n1的子数组的最大和以及长度为n2的子数组的最大和。

设数组s1表示长度为n1的子数组的最大和，数组s2表示长度为n2的子数组的最大和。那么可以得到以下递推公式：

s1[i]表示以i为结尾的长度为n1的子数组的最大和：

s1[i] = max(s1[i-1] + arr[i], arr[i])

s2[i]表示以i为结尾的长度为n2的子数组的最大和：

s2[i] = max(s2[i-1] + arr[i], arr[i])

然后，从两个数组中选取元素相加，使得它们的和最大，注意这两个子数组不能重叠，因此需要加上一些限制条件。

设maxSum表示最终的答案，则有以下递推公式：

maxSum = -INF
for i from n1-1 to n-1 do
    for j from 0 to n2-1 do
        if i-j >= n1-1 and i-j <= n2-1 then
            maxSum = max(maxSum, s1[i] + s2[j])
        end if
    end for
end for

其中，INF表示正无穷。

时间复杂度为O(n^2)。

代码

INF = 0x7fffffff

def maxSumTwoNonOverlapSubarrays(arr, n1, n2):
    n = len(arr)
    s1 = [0] * n
    s2 = [0] * n

    # 计算长度为n1的子数组的最大和
    s1[0] = arr[0]
    for i in range(1, n):
        if i < n1:
            s1[i] = s1[i-1] + arr[i]
        else:
            s1[i] = max(s1[i-1] + arr[i], arr[i] + sum(arr[i-n1+1:i]))

    # 计算长度为n2的子数组的最大和
    s2[0] = arr[0]
    for i in range(1, n):
        if i < n2:
            s2[i] = s2[i-1] + arr[i]
        else:
            s2[i] = max(s2[i-1] + arr[i], arr[i] + sum(arr[i-n2+1:i]))

    # 计算答案
    maxSum = -INF
    for i in range(n1-1, n):
        for j in range(n2-1, -1, -1):
            if i-j >= n1-1 and i-j <= n2-1:
                maxSum = max(maxSum, s1[i] + s2[j])

    return maxSum

总结

本题需要使用动态规划来求解，其时间复杂度为O(n^2)，需要额外空间存储两个数组的最大和。此外，需要注意两个子数组不能重叠的限制条件。