所有子数组的最大值之和 - 分而治之

对于一个给定的数组，找到所有子数组的最大值之和。

算法分析

暴力枚举

一个简单的算法是枚举所有的子数组并计算它们的和。时间复杂度为 $O(n^3)$。

def max_sum_subarray(arr):
    n = len(arr)
    max_sum = -float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            cur_sum = 0
            for k in range(i, j+1):
                cur_sum += arr[k]
            max_sum = max(max_sum, cur_sum)
    return max_sum

分而治之

我们可以利用分而治之的思想，将这个问题分成两个子问题：求所有左半部分的最大子数组和（包括中点）和所有右半部分的最大子数组和，以及跨越中点的最大子数组和。左右两边的最大子数组和可以递归求解，跨越中点的最大子数组和可以在 $O(n)$ 时间内计算。

def max_crossing_sum(arr, l, m, h):
    left_sum = right_sum = -float('inf')
    cur_sum = 0
    for i in range(m, l-1, -1):
        cur_sum += arr[i]
        left_sum = max(left_sum, cur_sum)
    cur_sum = 0
    for i in range(m+1, h+1):
        cur_sum += arr[i]
        right_sum = max(right_sum, cur_sum)
    return left_sum + right_sum

def max_sum_subarray(arr, l, h):
    if l == h:
        return arr[l]
    m = (l + h) // 2
    left_sum = max_sum_subarray(arr, l, m)
    right_sum = max_sum_subarray(arr, m+1, h)
    cross_sum = max_crossing_sum(arr, l, m, h)
    return max(left_sum, right_sum, cross_sum)

def all_max_sum_subarrays(arr):
    if not arr:
        return []
    max_sum = max_sum_subarray(arr, 0, len(arr)-1)
    return [max_sum] + all_max_sum_subarrays(arr[:-1])

时间复杂度为 $O(n\log n)$。

总结

通过分而治之的思想，我们得到了一个时间复杂度更优的算法，这在处理大规模数据时非常关键。