分而治之的程序 - C 编程语言

简介

分而治之（Divide and Conquer）是一种通用的算法范式，他的基本思想是把一个问题分成若干个规模较小而结构相似的子问题，然后逐个击破，分而治之，直到最后该问题的解便易求出。这种思想在很多领域都得到了应用，如计算机科学中的算法设计、计算几何学、图形学等。

在 C 编程语言中经常使用分而治之的思想设计算法，例如排序算法、查找算法、快速幂求解算法等。

排序算法

在排序算法中，分而治之的思想很容易被应用。最经典的例子就是归并排序算法。这个算法将一个无序数组分成两个子数组，然后逐个排序再合并成一个排好序的数组。其基本思路如下：

1. 将数组不断二分，直到每个子数组只有一个元素
2. 合并相邻的子数组，保证合并后的数组有序
3. 重复步骤 2，直到最后只剩下一个数组，即为排序好的数组

下面是 C 语言的归并排序实现：

void merge(int arr[], int l, int m, int r) {
    int i, j, k;
    int n1 = m - l + 1;
    int n2 = r - m;
 
    /* create temp arrays */
    int L[n1], R[n2];
 
    /* Copy data to temp arrays L[] and R[] */
    for (i = 0; i < n1; i++)
        L[i] = arr[l + i];
    for (j = 0; j < n2; j++)
        R[j] = arr[m + 1 + j];
 
    /* Merge the temp arrays back into arr[l..r]*/
    i = 0; // Initial index of first subarray
    j = 0; // Initial index of second subarray
    k = l; // Initial index of merged subarray
    while (i < n1 && j < n2) {
        if (L[i] <= R[j]) {
            arr[k] = L[i];
            i++;
        }
        else {
            arr[k] = R[j];
            j++;
        }
        k++;
    }
 
    /* Copy the remaining elements of L[], if there are any */
    while (i < n1) {
        arr[k] = L[i];
        i++;
        k++;
    }
 
    /* Copy the remaining elements of R[], if there are any */
    while (j < n2) {
        arr[k] = R[j];
        j++;
        k++;
    }
}
 
void mergeSort(int arr[], int l, int r) {
    if (l < r) {
        // Same as (l+r)/2, but avoids overflow for
        // large l and h
        int m = l + (r - l) / 2;
 
        // Sort first and second halves
        mergeSort(arr, l, m);
        mergeSort(arr, m + 1, r);
 
        merge(arr, l, m, r);
    }
}

查找算法

在查找算法中，分而治之的思想也很容易被应用。最经典的例子是二分查找算法。这个算法假设查找元素在一个升序排列的数组中，然后一分为二搜索，每次根据中间元素与目标元素的大小关系来确定搜索方向。其基本思路如下：

1. 找到数组的中间元素
2. 如果中间元素等于目标元素，直接返回该元素下标
3. 如果中间元素大于目标元素，就在数组左半边继续查找
4. 如果中间元素小于目标元素，就在数组右半边继续查找
5. 如果最后数组中没有目标元素，返回 -1

下面是 C 语言的二分查找实现：

int binarySearch(int arr[], int l, int r, int target) {
    while (l <= r) {
        int mid = l + (r - l) / 2;

        if (arr[mid] == target)
            return mid;

        if (arr[mid] < target)
            l = mid + 1;

        else
            r = mid - 1;
    }

    return -1;
}

快速幂求解算法

在数学计算中，分而治之的思想也被广泛应用。例如快速幂求解算法。这个算法将一个数不断平方，然后逐个乘起来，可以快速计算出一个数的幂，其基本思路如下：

1. 把指数 n 转化为二进制数
2. 从最右侧位到最左侧位遍历二进制数，遇到二进制位为 1 则乘上对应的幂，然后求平方
3. 重复步骤 2，直到遍历完成

下面是 C 语言的快速幂求解实现：

int fastPow(int x, int n) {
    if (n == 0)
        return 1;

    int half = fastPow(x, n / 2);

    if (n % 2 == 0)
        return half * half;

    else
        return half * half * x;
}

结论

在 C 编程语言中，分而治之的思想是一个高效解决问题的有效途径。程序员可以通过将一个大的问题划分成若干个独立的子问题，然后分别解决这些子问题，最后合并结果，来实现简洁高效的程序设计。