对一个二维向量进行对角排序

在二维空间中，我们有一个向量数组 v，其元素是形如 [x, y] 的二元组，其中 x 和 y 分别表示向量在二维坐标系中的横、纵坐标。请你对该数组按照向量与坐标轴的夹角从小到大进行排序，如果夹角相同，就按照 x 坐标从小到大排序。其中，升序排列意味着对于向量 [x1, y1] 和 [x2, y2]，如果它们的夹角相同，那么 [x1, y1] 在 [x2, y2] 的左侧、即当且仅当 y1/x1 < y2/x2 时，[x1, y1] 在 [x2, y2] 左侧。

方法

要排序的是二维向量数组，我们需要先指定一种排序规则。按照题目描述，我们考虑按照：

1. 向量与坐标轴的夹角从小到大排序，即 $\operatorname{atan2}(y,x)$ 升序排序；
2. 如果夹角相同，x 坐标从小到大排序；
3. 按规则选择排序算法。

我们可以使用前两个条件，按照两个元素比较的结果来排序。比较方法也许看上去有点复杂，但是只要清楚这是我们需要的排序规则即可。

代码实现

我们先给出按照条件 1 和 2 进行的一个排序实现。想要更加高效，则有多种可以选择的排序算法，如基于比较的排序（quicksort、heapsort、mergesort、timsort 等）和基于非比较的排序（计数排序、桶排序、基数排序 等）。这里给出了一个常规的冒泡排序实现，你可以根据需要选择不同的算法。

from typing import List

def sortVector(v: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
    n = len(v)
    for i in range(n):
        for j in range(n - 1 - i):
            if atan2Cmp(v[j], v[j + 1]) > 0:
                v[j], v[j + 1] = v[j + 1], v[j]
    return v

def atan2Cmp(a: List[int], b: List[int]) -> int:
    # 比较函数
    if atan2(a[1], a[0]) < atan2(b[1], b[0]):
        return -1
    elif atan2(a[1], a[0]) > atan2(b[1], b[0]):
        return 1
    elif a[0] < b[0]:
        return -1
    elif a[0] > b[0]:
        return 1
    else:
        return 0

其中 atan2Cmp 函数为比较函数，用于指定元素的大小关系。它比较的是两个一维向量的大小，首先取 atan2 值较小的向量，如果两个向量的 atan2 值相等，就比较它们的 x 坐标。

至此，我们完成了从无序数组到有序数组的冒泡排序实现。

总结

本文介绍了如何按照向量与坐标轴的夹角从小到大进行排序，其中比较元素的大小关系需要根据题目描述自定义比较函数。除了冒泡排序，我们还可以使用排序算法优化这个问题，例如使用快排或者堆排等算法，期望得到更优的时间复杂度。