对两个数组的最小乘积之和进行重新排列

简介

本文介绍的算法核心思想是将两个数组重新排列，使得它们相应位置的数相乘的和最小。该问题也称为最小乘积匹配问题。该问题在实际应用中有很多变体，例如任务分配问题、序列分割问题等。本文介绍的算法可以在O(nlogn)的时间复杂度内解决该问题。

算法原理

假设有两个长度为n的数组A和B。对于数组A中的一个元素a[i]，我们可以将其与数组B中的所有元素b[1]~b[n]做乘法，得到一个长度为n的新数组C。C[j]=a[i]*b[j]。同理，对于数组B中的一个元素b[j]，我们也可以得到一个新数组D，D[k]=b[j]*a[k]。则可以将问题转化为求C和D的最小乘积之和。

为了让C和D最小，我们需要将它们排序，得到两个有序的数组。假设C和D已经有序，那么C中第一个元素一定与D中最后一个元素相乘，C中第二个元素与D中倒数第二个元素相乘，以此类推。因此，我们可以对C和D分别做升序和降序排序，然后求它们的乘积之和，即为所求。

代码实现

def min_product_sum(A: List[int], B: List[int]) -> int:
    A.sort()
    B.sort(reverse=True)
    return sum(A[i]*B[i] for i in range(len(A)))

性能分析

该算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中排序的时间复杂度为O(nlogn)，相乘求和的时间复杂度为O(n)。空间复杂度为O(1)，因为只使用了常数个变量。因此，该算法具有较好的时间和空间效率。

应用场景

该算法可以应用于任务分配问题、序列分割问题等场景，例如：

1. 将n个任务分配给n个工人，每项任务的完成时间不同，每个工人的工作效率也不同。如何分配任务才能让所有工人完成任务的时间最短？

2. 将一条长度为n的序列分割成m段，每段的长度可以不同，每段的权值不同。如何分割序列才能得到权值之和最小的m段？

总结

本文介绍了对两个数组的最小乘积之和进行重新排列的算法，它可以在O(nlogn)的时间复杂度内解决该问题。该算法的核心思想是将两个数组排序，然后依次取出相应位置的数相乘。该算法在任务分配问题、序列分割问题等场景中具有广泛的应用。