堆栈 | 第 2 组 (中缀到后缀)

简介

中缀表达式是人们常用的一种表达式，但计算机不容易直接解析这种表达式，于是就有了将中缀表达式转化为计算机更容易解析的后缀表达式的需求。堆栈是一个数据结构，可以用来实现中缀表达式到后缀表达式的转换算法。

在本组中，我们将讨论如何使用堆栈来实现中缀表达式到后缀表达式的转换。

中缀表达式

中缀表达式是人们常用的一种表达式，其中两个操作数之间由运算符分隔。例如，下面是一个中缀表达式：

3 + 4 * 2 / ( 1 - 5 ) ^ 2 ^ 3

后缀表达式

后缀表达式是将中缀表达式转化为计算机更容易解析的一种表达式，将运算符放在操作数的后面。例如，上述中缀表达式可以转化为下面的后缀表达式：

3 4 2 * 1 5 - 2 3 ^ ^ / +

中缀转后缀算法

中缀转后缀算法基于堆栈实现，它使用一个输出队列、一个运算符堆栈和一个操作数堆栈来处理中缀表达式。

1. 初始化输出队列为空，运算符堆栈为空；
2. 从左到右扫描中缀表达式；
3. 如果遇到数字，将它添加到输出队列中；
4. 如果遇到运算符：
    4.1. 将当前运算符与运算符堆栈栈顶的运算符比较；
    4.2. 如果运算符堆栈为空，或者栈顶运算符是左括号 "("，那么将该运算符压入堆栈；
    4.3. 如果该运算符优先级大于运算符堆栈栈顶运算符优先级，那么将该运算符压入堆栈；
    4.4. 否则，将运算符堆栈栈顶的运算符弹出，添加到输出队列中，然后回到步骤 4.1 重新比较；
5. 如果遇到左括号 "(", 将它压入运算符堆栈；
6. 如果遇到右括号 ")", 将运算符堆栈中的运算符弹出，添加到输出队列中，直到遇到左括号 "("，将左右括号弹出，但不将左右括号添加到输出队列中；
7. 重复步骤 2-6 直到表达式中的所有元素都已扫描完毕；
8. 如果运算符堆栈中还有元素，将它们依次弹出，添加到输出队列中；
9. 输出队列中的元素就是转换后的后缀表达式。

示例代码

下面是一个实现中缀表达式到后缀表达式的转换的示例代码（基于 Python）：

def infix_to_postfix(infix_expression: str) -> str:
    precedence = {'+': 1, '-': 1, '*': 2, '/': 2, '^': 3}
    postfix_expression = []
    operator_stack = []

    for token in infix_expression.split():
        if token.isdigit() or token.isalpha():
            postfix_expression.append(token)
        elif token == '(':
            operator_stack.append(token)
        elif token == ')':
            while operator_stack[-1] != '(':
                postfix_expression.append(operator_stack.pop())
            operator_stack.pop()
        else:
            while operator_stack and operator_stack[-1] != '(' and precedence[token] <= precedence[operator_stack[-1]]:
                postfix_expression.append(operator_stack.pop())
            operator_stack.append(token)

    while operator_stack:
        postfix_expression.append(operator_stack.pop())

    return ' '.join(postfix_expression)

总结

中缀表达式到后缀表达式的转换是一个非常基础的问题，也是堆栈数据结构的经典应用之一。通过本组的学习，您应该可以理解中缀转后缀算法的原理，并能够使用堆栈实现该算法。