GATE CS 2016 Sec 4 – BST

该题目主要涉及二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）的概念和操作。

什么是BST?

二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，具有以下性质：

• 每个节点都有一个键值；
• 所有左子树的节点都小于其父节点的键值；
• 所有右子树的节点都大于其父节点的键值；
• 没有重复的节点。

如下图所示，就是一个合法的BST:

      4
     / \
    2   5
   / \
  1   3

常见操作

二叉搜索树（BST）支持如下常见操作：

插入元素

将一个元素插入BST的操作，通常的实现方法是递归地比较节点的键值，然后将元素插入到适当的位置，保证BST的特性得以维护。

示例代码:

def insert(root, key):
    if root is None:
        return Node(key)
    elif root.key < key:
        root.right = insert(root.right, key)
    else:
        root.left = insert(root.left, key)
    return root

删除元素

删除一个元素的操作，有以下几种情况：

• 节点没有子节点，直接删除；
• 节点只有一个子节点，删除该节点，将子节点升级为当前节点；
• 节点有两个子节点，将该节点的后继节点的值复制到该节点，然后删除后继节点。

示例代码：

def minValueNode(root):
    curr = root
    while(curr.left is not None):
        curr = curr.left
    return curr
 
def deleteNode(root, key):
    if root is None:
        return root
    if key < root.key:
        root.left = deleteNode(root.left, key)
    elif key > root.key:
        root.right = deleteNode(root.right, key)
    else:
        if root.left is None:
            temp = root.right
            root = None
            return temp
        elif root.right is None:
            temp = root.left
            root = None
            return temp
        temp = minValueNode(root.right)
        root.key = temp.key
        root.right = deleteNode(root.right, temp.key)
    return root

查找元素

在BST中查找一个元素的操作，也是通过递归比较节点的键值实现的。

示例代码：

def search(root, key):
    if root is None or root.key == key:
        return root
    if root.key < key:
        return search(root.right, key)
    return search(root.left, key)

算法复杂度

对于一个平衡的BST，其插入、删除操作的平均时间复杂度为 O(log n)，查找元素操作的时间复杂度也为 O(log n)。但如果 BST 没有平衡，就会出现最坏情况，时间复杂度为 O(n)。

总结

本题介绍了二叉搜索树（BST）的概念和操作，包括插入、删除、查找元素等操作。同时介绍了BST的时间复杂度和最优情况，为程序员在工作中使用BST提供了理论基础。