最大和双调子阵列介绍

双调子阵列是一类连续的子数组，在这个数组中的元素是或者单调递增，或者单调递减。最大和双调子阵列是指一个双调子阵列，其元素和是所有双调子阵列中最大的。

示例

例如，下面的数组

arr[] = {2, 5, 3, 7, 4, 8, 9, 6}

有几个子串是双峰子串。

• {2, 5}
• {7, 4}
• {4, 8, 9, 6}

其中的总和为：2+5+7+4+4+8+9+6=45。而这个数组的某个双调子串的和最大为：2+5+7+4+8+9+6=41。

算法

我们可以使用动态规划算法解决该问题。首先，我们需要预处理两个数组：

• increasing[i]：从数组开始到下标i的最长单调递增子序列的元素和。
• decreasing[i]：从数组结尾到下标i的最长单调递减子序列的元素和。

然后，我们可以通过遍历数组并记录下最大和双调子串的和来找到最大和双调子串。

def max_bitonic_sum(a: List[int]) -> int:
    n = len(a)
    
    # 预处理 单调递增数组
    increasing = [a[0]] * n
    for i in range(1, n):
        increasing[i] = increasing[i-1]
        if a[i] > a[i - 1]:
            increasing[i] += a[i]
            
    # 预处理 单调递减数组
    decreasing = [a[-1]] * n
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        decreasing[i] = decreasing[i + 1]
        if a[i] > a[i + 1]:
            decreasing[i] += a[i]
            
    # 找最大和双调子串
    max_sum = 0
    for i in range(n):
        if increasing[i] + decreasing[i] - a[i] > max_sum:
            max_sum = increasing[i] + decreasing[i] - a[i]
    
    return max_sum

该函数接收一个整数列表，返回最大和双调子串的元素和。

复杂度

• 时间复杂度：$O(n)$，需要遍历整个数组进行预处理和计算最大和双调子串。
• 空间复杂度：$O(n)$，需要使用额外的空间保存单调递增和单调递减数组。