最大长度双调子阵列 | 算法介绍

算法背景

在计算机科学领域中，子序列问题是一个常见而重要的问题，其研究内容包括最长公共子序列、最长上升子序列、最长回文子序列等等。其中最大长度双调子阵列问题是一个相对较新且具有挑战性的问题，其定义如下：

在一个长度为 n 的数组中，如果存在一个连续的子数组 A[i...j] 满足 A[i]...A[k] 是单调递增的，A[k]...A[j] 是单调递减的（其中 i <= k <= j），那么这个子数组就是双调的。而最大长度的双调子数组就是指该数组中最长的双调子数组。

该问题可以被应用于数据挖掘、图像处理、生物信息学等领域，因此被广泛研究。

算法思路

最大长度双调子数组问题的主要难点在于如何正确定义状态转移方程。我们定义 dp[i] 表示以元素 A[i] 为结尾的最长双调子数组长度。注意这里的双调并不要求单调递增的部分和单调递减的部分必须严格分裂成两个相邻的区间，因此单调递增和单调递减的分界点也可以是相同的，这就保证了中间部分的元素可以被包含。

接下来我们考虑状态转移方程，dp[i] 的值可以由前面的 dp[j](j < i) 转移而来，j 需要满足 A[j] < A[i]。因为最长的双调子数组必须以某个元素结尾，所以最终的答案就是 dp 数组中的最大值。

具体实现中，我们需要遍历数组两次，一次从左往右计算 dp[i]，一次从右往左计算 dp[i]，得到两个数组后再取它们对应位置的最大值。

时间复杂度和空间复杂度

我们需要遍历输入数组两次，因此时间复杂度为 O(n)，空间复杂度也是 O(n)。

代码实现

def get_max_length_bitonic_subarray(arr):
    n = len(arr)
    inc_dp = [1] * n
    dec_dp = [1] * n

    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if arr[i] > arr[j]:
                inc_dp[i] = max(inc_dp[i], inc_dp[j] + 1)

    for i in range(n - 2, -1, -1):
        for j in range(n - 1, i, -1):
            if arr[i] > arr[j]:
                dec_dp[i] = max(dec_dp[i], dec_dp[j] + 1)

    max_len = 0
    for i in range(n):
        max_len = max(max_len, inc_dp[i] + dec_dp[i] - 1)

    return max_len

总结

最大长度双调子数组问题是一个相对较新且具有挑战性的问题，用以求解一个序列中最长的且为双调的连续子序列。该问题和最长上升子序列问题略有不同之处，需要让中间部分的元素可以被包含。我们可以通过定义状态转移方程，用 O(n) 的时间复杂度和 O(n) 的空间复杂度来求解最大长度双调子数组问题。