数组中XOR和AND的计数

本文介绍了如何统计一个数组中的{X,Y}对，使得X⊕Y中设置位的计数与X＆Y中设置位的计数的两倍之和为M。我们将讨论如何解决这个问题，并提供一个实际的代码示例。

背景

在计算机科学中，异或操作（^）和按位与操作（&）是常见的位运算符。异或操作可以将两个值的每个位按位比较，如果不同则返回1，否则返回0。按位与操作可以将两个值的每个位按位比较，如果两个位都为1，则返回1，否则返回0。因此，异或操作和按位与操作通常在处理二进制数据时使用。

但是，如何找到一对数X和Y，使得X⊕Y中设置位的计数与X＆Y中设置位的计数的两倍之和为M呢？该如何解决这个问题？

解决方案

首先，我们需要找到一种方法来计算X⊕Y中设置位的数量和X＆Y中设置位的数量。对于计算设置位数量，我们可以使用一些位运算技巧。下面是一个实用的函数，在C++中实现：

int count(int n){
    int cnt = 0;
    while(n){
        cnt++;
        n = n & (n - 1);
    }
    return cnt;
}

该函数使用了一个常用技巧，即将一个数减去1后，其结果的最低位的1会变为0，其余的位将不变。例如，数字n = 00001100（二进制）减去1时，结果为n' = 00001011（二进制），而n＆n' = 00001000 （二进制），只有最低位的1被清除。

对于计算{X,Y}，我们可以使用两个嵌套的循环，每个循环都迭代数组中的元素。当我们找到X和Y时，我们可以计算X⊕Y和X＆Y并使用先前定义的count函数计算两个操作中设置的位数，然后检查两个计数是否匹配我们的标准，即X⊕Y中设置位的计数与X＆Y中设置位的计数的两倍之和为M。如果是，则我们增加匹配计数器的值。下面是一个实现：

int count_pairs(vector<int> &nums, int M){
    int cnt = 0;
    // Iterate through all pairs of X and Y
    for(int i=0;i<nums.size();i++){
        for(int j=i+1;j<nums.size();j++){
            int xor_val = nums[i] ^ nums[j];
            int and_val = nums[i] & nums[j];
            int xor_cnt = count(xor_val);
            int and_cnt = count(and_val);
            if(xor_cnt + 2 * and_cnt == M){
                cnt++;
            }
        }
    }
    return cnt;
}

该函数首先将计数器cnt初始化为0，然后使用两个for循环遍历数组中所有可能的{X，Y}对，计算X⊕Y中设置位和X＆Y中设置位的数量，并检查计数是否匹配标准。如果匹配，则增加计数器的值，最后返回结果。

示例

为了演示我们的解决方案，让我们使用以下数字数组：{1,2,3,4}和标准值M = 5。下面是一个演示如何使用我们的函数的实际示例：

// Driver code
int main() {
    vector<int> nums{1,2,3,4};
    int M = 5;
    int cnt = count_pairs(nums, M);
    cout<<cnt<<endl; // Output: 1
    return 0;
}

在此示例中，我们使用我们的count_pairs函数计算数组{1,2,3,4}中的{X,Y}对，以便在X⊕Y中设置位的计数与X＆Y中设置位的计数的两倍之和为5。我们的实现应返回1，因为只有一对数字{1，4}满足我们的条件。

总结

在本文中，我们介绍了一种计算一个数组中的XOR和AND的计数的方法，并提供了一个实际的代码示例。尽管该问题可能很难，但我们的解决方案非常简单且易于实现。希望本文能够帮助读者更好地理解位操作，同时为处理类似问题提供一个好的起点。