来自数组的对 {X, Y} 的计数

简介

给定一个数组，我们需要计算满足以下条件的对数：

1. 对 {X, Y} 做异或操作（X ⊕ Y）后，设置位的个数加上 X & Y 的设置位的两倍之和等于 M。
2. X 和 Y 是数组中的两个元素。

本问题可以通过暴力破解、位运算和哈希表等方法来解决。

解法一：暴力破解

暴力枚举所有可能的对数，然后统计满足条件的对数即可。时间复杂度为 O(n^2)，显然该方法不够优秀。

解法二：位运算

由于当前问题涉及到了位运算，因此我们可以考虑通过位运算来优化计算。

我们可以将 X 和 Y 分别看做两个二进制数，分别进行按位运算，即可计算 X & Y 和 X ⊕ Y。

对于第一种运算（X & Y），我们可以通过 Brian Kernighan 的算法快速计算二进制数中设置位的个数。算法步骤如下：

int countSetBits(int n) {
    int count = 0;
    while (n > 0) {
        n &= (n - 1);
        count++;
    }
    return count;
}

对于第二种运算（X ⊕ Y），我们可以通过以下方式计算：

int countXORSetBits(int x, int y) {
    int count = 0, XOR = x ^ y;
    while (XOR > 0) {
        if (XOR % 2 == 1) {
            count++;
        }
        XOR >>= 1;
    }
    return count;
}

对于一个长度为 k 的二进制数，计算异或操作的设置位的时间复杂度为 O(k)。

我们可以通过两个循环来枚举所有可能的对数，时间复杂度为 O(n^2)。

完整代码：

int countPairs(int arr[], int n, int m) {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            int XOR = arr[i] ^ arr[j];
            int AND = arr[i] & arr[j];
            if (countXORSetBits(arr[i], arr[j]) + 2 * countSetBits(AND) == m) {
                count++;
            }
        }
    }
    return count;
}

解法三：哈希表

我们可以使用哈希表来优化计算。我们可以通过预处理哈希表，将每个数字的设置位数量与其出现的次数存储在哈希表中。

对于每一对 (X, Y)，我们可以计算 X & Y 和 X ⊕ Y。我们可以使用哈希表来查找这两个数在数组中出现的次数。

然后将计算结果和 M 进行比较，如果相等则满足条件，将对数加到计数器中。

时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。

完整代码：

int countPairs(int arr[], int n, int m) {
    unordered_map<int, int> setBits;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int num = arr[i];
        while (num > 0) {
            if (num % 2 == 1) {
                setBits[i]++;
            }
            num >>= 1;
        }
    }
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            int XOR = arr[i] ^ arr[j];
            int AND = arr[i] & arr[j];
            int XORCount = setBits[i] + setBits[j] - 2 * setBits[i & j];
            int ANDCount = setBits[i & j];
            if (XORCount + 2 * ANDCount == m) {
                count++;
            }
        }
    }
    return count;
}