将数组划分为K个分段，以使各个分段和的按位与最大

这个问题是一个经典的算法问题。给定一个长度为n的整数数组nums和一个正整数k。将数组划分为k个非空连续子数组，使得各个分段和的按位与最大，返回这个最大值。

解决方案

暴力枚举法

最简单的方法是暴力枚举所有可能的子数组划分，计算每个划分的按位与和，最后返回最大的值。这种方法的时间复杂度是$O(n^{k+1})$，显然是不可行的。

动态规划法

我们可以使用动态规划法来解决这个问题。我们定义一个二维数组$dp[i][j]$表示i个分段时，前j个数的按位与最大值。可以将其递推表示为：$dp[i][j] = max(dp[i-1][k] & (nums[k+1] & nums[k+2] & ... & nums[j]))$。其中，“$&$”表示按位与。最终答案为$dp[k][n]$。

时间复杂度为$O(k * n^2)$，空间复杂度为$O(k * n)$。

二分搜索法

在动态规划法的基础上，我们发现每次递推时，内部循环是将所有可能的k值都计算了一遍。如果我们可以快速找到一个k值，使得$dp[i-1][k] & (nums[k+1] & nums[k+2] & ... & nums[j])$的结果最大，就可以优化时间复杂度。可以使用二分搜索法来实现。

时间复杂度为$O(n * log_2 n * log_2 sum)$，空间复杂度为$O(k * n)$。

代码实现

动态规划法

def max_bitwise_and(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(k + 1)]
    for i in range(1, k + 1):
        for j in range(i, n + 1):
            curr_max = nums[j - 1]
            for p in range(j - 1, i - 2, -1):
                curr_max = curr_max & nums[p]
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][p] + curr_max)
    return dp[k][n]

二分搜索法

def max_bitwise_and(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(k + 1)]
    for i in range(1, k + 1):
        stack = [0]
        for j in range(1, n + 1):
            curr_max = nums[j - 1]
            while stack and nums[stack[-1]] < nums[j - 1]:
                curr_max = curr_max & nums[stack.pop()]
            stack.append(j - 1)
            dp[i][j] = dp[i][stack[0]]
            left, right = 0, len(stack) - 1
            while left < right:
                mid = (left + right + 1) // 2
                if dp[i - 1][stack[mid]] + curr_max > dp[i][stack[mid - 1]] + (nums[stack[mid - 1] + 1] & nums[j - 1]):
                    left = mid
                else:
                    right = mid - 1
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][stack[left]] + curr_max)
    return dp[k][n]