将数组划分为K个相等和子数组的方式数量

当我们拿到一个数组并给定一个整数K时，我们需要将数组划分为K个相等和的子数组，我们可能关心的问题是如何计算可以进行此种划分的方式数量。

问题描述

给定一个长度为n的整数数组nums和一个正整数k，找出该数组可以被划分成k个长度相等的子数组的方案数目。如果有多种方案，返回任意一个。

示例：

输入：nums = [1,2,3,4,5], k = 3
输出：3
解释：nums 可以划分为 [1,2], [3,4], [5] 三个子数组。

解法

对于这个问题，可以使用动态规划的方法进行求解。我们可以维护一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个数将数组划分为j个子数组的方式数量。因为要求划分后的子数组的长度相等，所以划分的长度必须是sum(nums) / k。

从状态转移方程的角度来看，对于dp[i][j]而言，我们需要考虑前面的i-1个数和前面j-1个子数组的关系。最后一个子数组的起点位置必须是0~i-1之间的某个位置，因为前面i-1个数已经将j-1个子数组划分好了。那么我们可以枚举最后一个子数组的起点位置，假设它的位置是m，那么在m+1~i-1之间的数将形成一个长度相等的子数组，子问题将被分成了dp[m][j-1]和[m+1, i-1]共两部分。

考虑边界条件，当k=1时，不需要划分，方案数就是1。当n<k时，数组不可能划分为k个子数组，方案数为0。

最终的答案就是dp[n][k]的值。

代码实现

下面是使用Python3实现的动态规划代码：

def waysToSplit(nums, k):
    n = len(nums)
    s = sum(nums)
    if s % k != 0:
        return 0
    target = s // k
    if n < k:
        return 0
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][1] = dp[i - 1][1] + nums[i - 1]
    for j in range(2, k + 1):
        for i in range(j - 1, n):
            for m in range(j - 2, i):
                if dp[m][j - 1] != 0:
                    dp[i][j] += dp[m][j - 1] if dp[m][j - 1] <= target - dp[m][j - 1] + nums[i] else 0
    return dp[n][k]

时间复杂度

三层循环嵌套，时间复杂度为O(n^3)。

空间复杂度

使用二维数组dp存储状态，空间复杂度为O(n * k)。