剪成最少正方形的纸

现在有一张长为 n，宽为 m 的纸，我们要把它剪成最少的正方形，其中每个正方形的边长均为整数。编写一个函数来求出最少需要剪几次纸才能实现这个目标。

思路

这是一道非常经典的动态规划问题，我们可以用一个二维数组 dp 来记录当前位置到左上角所需的最小剪切次数。具体而言，对于位置 (i, j)，可以由其左边的位置 (i, j-1)、上方的位置 (i-1, j)、以及左上方的位置 (i-1, j-1) 转移而来，如下所示：

dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + 1

其中，左边的位置对应着当前位置左边一段纸，上方的位置对应着当前位置上面一段纸，左上方的位置对应着当前位置左上角的正方形区域。

最终，dp[n][m] 即为所求的答案。

代码

以下是使用 Python 语言实现的完整代码片段：

def min_cuts(n: int, m: int) -> int:
    dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if i == j:
                dp[i][j] = 1
            else:
                dp[i][j] = float('inf')
                for k in range(1, i // 2 + 1):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j] + dp[i-k][j])
                for k in range(1, j // 2 + 1):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j-k])
    return dp[n][m]

其中，min_cuts 函数接收两个参数 n 和 m，表示纸的长和宽，返回剪切纸所需的最小次数。

结论

这个问题在算法竞赛中比较常见，可以通过以上动态规划思路进行求解。总时间复杂度为 $O(n^2\log(n))$。