树的每个节点与给定的断开组件连接后的直径

在这个主题中，我们将要介绍如何计算一个树上每个节点与给定的断开组件连接后的直径。这个问题在网络设计、数据中心建设等场景中有很广泛的应用。

问题描述

给定一棵无根树 $T$，其中每个节点对应一个非负权值 $w_i$，一个断开组件 $C$，其包含若干个节点。我们定义连接一棵树 $T$ 中的一个节点 $v$ 和一个断开组件 $C$ 的直径 $d(T,v,C)$ 为从节点 $v$ 出发到达断开组件 $C$ 上某个点的最短路径长度，再从该点出发到达 $C$ 上到达 $v$ 的最短路径长度。

现在要求对于 $T$ 中每个节点 $v$，计算 $d(T,v,C)$ 的最大值。

解决方案

算法简介

我们可以通过树形动态规划来解决这个问题。

具体来说，我们首先假设节点 $u$ 是断开组件 $C$ 中的某个节点，并计算出在以 $u$ 为根的子树中，所有节点到 $C$ 的距离的最大值。我们用 $f(u, v)$ 表示节点 $u$ 到以 $v$ 为根的子树的最大距离，那么有以下的递推式：

$$ f(u, u) = \max{d(u, v)\ |\ v\in C}\ f(u, v) = \max{f(u, w) + d(v, w)\ |\ w\in son(u)},\ v\in son(u) $$

其中，$d(u, v)$ 表示节点 $u$ 到节点 $v$ 的距离，$son(u)$ 表示节点 $u$ 的所有子节点。

然后，对于所有的节点 $v$，如果 $v$ 不在断开组件 $C$ 中，那么我们就可以通过以下的递推式来计算 $d(T,v,C)$：

$$ d(T,v,C) = \max{f(u, v) + d(u, w) + f(w, p)\ |\ w\in C,\ u\in T,\ p\in path(w,v)} $$

其中，$path(u,v)$ 表示从节点 $u$ 到节点 $v$ 的路径。

最后，对于所有的节点 $v$，选取 $d(T,v,C)$ 的最大值即可。

算法实现

具体的算法实现如下所示：

def dfs(u, fa):  # 在以 u 为根的子树中求 f(u, v)
    f[u][u] = dist(u, C)
    for v in son[u]:
        if v == fa:
            continue
        dfs(u, v)
        for w in son[C]:
            f[u][w] = max(f[u][w], f[u][v] + dist(v,w))

def solve():
    dfs(C, 0)  # 计算以 C 为根的子树中的 f 值
    ret = 0
    for u in range(1, n+1):  # 枚举所有的节点
        if u in C:  # 如果 u 在断开组件 C 中，那么跳过
            continue
        for w in C:
            p = lca(u, w)  # 求 u 到 C 中 w 的路径，即 path(u,w)
            ret = max(ret, f[C][w] + dist(u, w) + f[u][p])
    return ret

其中，$lca(u,v)$ 表示节点 $u$ 和 $v$ 的最近公共祖先，$dist(u,v)$ 表示节点 $u$ 到节点 $v$ 的距离。

总结

本文介绍了如何计算一个树上每个节点与给定断开组件连接后的直径。我们通过树形动态规划的方式来求解这个问题。具体来说，我们先计算以断开组件中某个点为根的子树中的 $f$ 值，然后再利用 $f$ 值计算每个节点与断开组件连接后的直径的最大值。