计算机图形学中的 B 样条曲线

先决条件 -贝塞尔曲线

B样条曲线的概念解决了贝塞尔曲线的缺点，众所周知，这两条曲线本质上都是参数化的。在贝塞尔曲线中我们面临一个问题，当我们改变任何控制点各自的位置时，整个曲线形状都会发生变化。但是这里在B样条曲线中，只有曲线形状的特定部分会受到控制点相应位置变化的变化或影响。

在B 样条曲线中，控制点对曲线形状进行局部控制，而不是像贝塞尔曲线那样全局控制。

改变控制点 P ₁位置前的 B 样条曲线形状 –

改变控制点 P ₁位置后的 B 样条曲线形状 –

你可以在上图中看到只有第 1 段的形状，因为我们只改变了控制点 P ₁ ，而第 2 段的形状保持不变。

B样条曲线：
正如我们在上面看到的，B 样条曲线与控制点的数量无关，由平滑地连接几个线段组成，其中每个线段的形状由该线段区域中的一些特定控制点决定。考虑下面给出的曲线——

这条曲线的属性是——

我们上面有“n+1”个控制点，所以，n+1=8，所以n=7。
让我们假设这条曲线的阶数是'k'，所以我们得到的曲线的多项式次数为“k-1”。按照惯例，'k' 的值必须在以下范围内：2 ≤ k ≤ n+1。所以，让我们假设 k=4，所以曲线度数将是 k-1 = 3。
该曲线的总段数将通过以下公式计算 -
总数seg = n – k + 2 = 7 – 4 + 2 = 5。

B 样条曲线中的结点：
曲线的两条线段之间的点相互连接，这些点称为B 样条曲线中的节点。在三次多项式次数曲线的情况下，节点为“n+4”。但在其他常见情况下，我们有“n+k+1”个结。因此，对于上述曲线，总节点向量将是 -

Total knots = n+k+1 = 7 + 4 + 1 = 12

这些结向量可以是三种类型——

B样条曲线方程：样条曲线方程如下——

$\mathbf{Q(t)=\sum^n_{i=o} P_i* N_{i,k}(t)}\\ \textbf{Where \,}\mathbf{N_{i,k}}\textbf{ \,is Basis function of B-splne curve.}$

其中P _i , k, t 分别代表曲线的控制点、度数、参数。

$\mathbf{N_{i,k}(t)=\frac{(t-x_i)*N_{i,k-1}(t)}{x_{i+k-1}-1}+\frac{(x_{i+k}-t)*N_{i+1,k-1}(t)}{x_{i+k}-x_{i+1}}}$

以下是x _{i 的}一些条件如下 -

$\mathbf{x_i=0; if\,\,i\lt k;}\\ \mathbf{x_i=i-k+1; if\,\,k\le i\le n;}\\ \mathbf{x_i=0; if\,\,i\gt n.}$

基函数的一些情况：

$\mathbf{N_{i,k}(t)=\binom{1;\,\,if\,\,x_i\le t\le x_{i+1}}{0;\,else}}\\ \textbf{where\,}\mathbf{\,t_{min}\le t \le t_{max.}}$

B样条曲线的性质：