计算机图形学转换简介

计算机图形学中的转换是指将物体从一个坐标系中转移至另一个坐标系中的过程。常见的转换包括平移、旋转、缩放和剪切。这些转换可以应用于二维和三维的物体，并用矩阵表示。

二维转换

对于二维物体，常用的转换有平移、旋转和缩放。这些转换可以分别表示为以下矩阵形式：

平移

平移表示将物体沿水平和垂直方向移动一定距离，可以表示为以下矩阵形式：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \ 0 & 1 & t_y \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

其中 $t_x$ 和 $t_y$ 表示水平和垂直方向上的移动距离。

旋转

旋转表示将物体绕某个点旋转一定角度，可以表示为以下矩阵形式：

$$ \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

其中 $\theta$ 表示旋转的角度。

缩放

缩放表示将物体在水平和垂直方向上拉伸或压缩一定比例，可以表示为以下矩阵形式：

$$ \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

其中 $s_x$ 和 $s_y$ 表示水平和垂直方向上的拉伸比例。

三维转换

对于三维物体，常用的转换有平移、旋转、缩放和剪切。这些转换可以分别表示为以下矩阵形式：

平移

平移表示将物体沿 $x$、$y$、$z$ 三个轴向移动一定距离，可以表示为以下矩阵形式：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \ 0 & 1 & 0 & t_y \ 0 & 0 & 1 & t_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

其中 $t_x$、$t_y$ 和 $t_z$ 表示沿 $x$、$y$、$z$ 三个轴向上的移动距离。

旋转

旋转表示将物体绕某个轴旋转一定角度，可以表示为以下矩阵形式：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

其中 $\theta$ 表示旋转的角度。

缩放

缩放表示将物体在 $x$、$y$、$z$ 三个轴向上拉伸或压缩一定比例，可以表示为以下矩阵形式：

$$ \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 & 0 \ 0 & 0 & s_z & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

其中 $s_x$、$s_y$ 和 $s_z$ 表示在 $x$、$y$、$z$ 三个轴向上的拉伸比例。

剪切

剪切表示将物体在 $x$、$y$、$z$ 三个轴向上进行拉伸或压缩，可以表示为以下矩阵形式：

$$ \begin{bmatrix} 1 & \lambda_{yx} & \lambda_{zx} & 0 \ \lambda_{xy} & 1 & \lambda_{zy} & 0 \ \lambda_{xz} & \lambda_{yz} & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

其中 $\lambda_{xy}$、$\lambda_{yx}$、$\lambda_{xz}$、$\lambda_{zx}$、$\lambda_{yz}$ 和 $\lambda_{zy}$ 表示对应轴向上的拉伸比例。

结语

以上就是计算机图形学中常用的几种转换方式及其矩阵表示，希望本文可以对您有所帮助。