最小化数组唯一元素计数总和问题

在本题中，我们需要将一个给定的数组划分为 $N$ 个子集，使得每个子集中的元素都相等，同时最小化唯一元素的计数总和。

这个问题可以通过贪心算法来解决。我们可以先对数组进行排序，然后从小到大依次遍历数组中的每个元素。对于当前遍历到的元素 $x$，我们需要让它尽可能多地加入已经形成的子集中。

具体地，我们维护一个计数数组 $count$，其中 $count[i]$ 表示当前已经有 $i$ 个子集，且每个子集中的元素都相等，所包含的元素个数。初始时，$count[1] = n$，表示将整个数组划分为一个子集。然后，对于遍历到的元素 $x$，我们从 $count$ 数组中找到最小的 $i$，使得 $count[i] > 0$，即存在至少 $i$ 个子集，且每个子集中都包含 $i$ 个元素。我们将 $x$ 加入其中一个子集中，使得这个子集所包含的元素变为 $i+1$ 个。同时，对应地，我们将 $count[i]$ 减去 $1$，将 $count[i+1]$ 加上 $1$。

重复以上操作，直到遍历完整个数组，得到的 $count$ 数组就是一个合法的划分方案。最后，我们可以计算出每个子集所包含的元素个数 $k$，以及唯一元素的计数 $c$。显然，$k$ 就是数组中的最大公约数。而 $c$ 可以通过以下公式计算：

$$ c = \sum_{i=1}^{k} (count[i] > 0) \times (k-i+1) $$

具体来说，当 $count[i] > 0$ 时，表示存在至少 $i$ 个子集，且每个子集中都包含 $i$ 个元素。这些子集中的每个元素，都可以当作唯一元素来计算，因此对应的贡献是 $(k-i+1)$。将所有非零的贡献相加起来，就可以得到 $c$ 的值。

下面是用 Python 实现的代码片段（假设输入数组为 $A$）：

n = len(A)
A.sort()
count = [n] + [0] * (n-1)
i, c = 1, 0
while i <= n:
    j = i
    while j <= n and count[j] == 0:
        j += 1
    if j > n:
        break
    k = (A[i-1] - A[0]) // i
    k = max(k, 1)
    for p in range(i, j):
        x = (A[p] - A[0]) // k
        count[x] += 1
        count[x-i] -= 1
    c += (j-i+1) * (k-1)
    i = j+1
k = count.index(max(count))
c += (n - sum(count)) * k

其中，第 2 行对数组进行排序；第 3 行创建计数数组，并初始化 $count[1] = n$；第 8-10 行寻找第一个非零的 $count[i]$；第 11-15 表示将当前元素加入已有子集中，更新计数数组；第 16 行计算唯一元素的贡献；第 17 行更新 $i$ 的值，继续处理下一个元素；第 18-20 表示计算 $k$ 的值，即当前元素所属的子集大小；第 21-24 表示将当前元素加入所属子集中，并更新计数数组和计数结果；第 25-27 表示计算 $k$ 的值，即不在任何子集中的元素个数；最后，第 29 行返回计算结果。