在给定范围内打印BST键| O(1)空间

介绍

本篇文章将介绍如何在不使用额外空间（仅使用常量级别的空间）的情况下，在给定范围内（通常为左闭右闭区间）打印一颗二叉搜索树（BST）中的键值。由于是在不递归和不使用额外空间的情况下实现打印操作，因此需要采用一些巧妙的算法技巧。

具体而言，本篇文章将分别介绍使用Morris遍历和指针向上回溯方式实现BST键的打印操作。

Morris遍历方式

Morris遍历是一种基于线索二叉树的遍历方式，其核心思想是不向左或右子树回溯，而是将指针指向当前节点的前驱或后继节点。在本题中，我们可以借助Morris遍历的思想，实现在给定范围内打印BST键的操作。这里，我们以打印[left, right]区间内的键值为例，具体算法步骤如下：

1. 首先，初始化当前节点为根节点root。
2. 如果当前节点x的值大于right，说明x及其左子树中所有节点的键值均不在给定区间内，因此应该将x指向其左子树，继续遍历。
3. 如果当前节点x的值小于left，说明x及其右子树中所有节点的键值均不在给定区间内，因此应该将x指向其右子树，继续遍历。
4. 如果当前节点x的值在[left, right]范围内，说明x的键值符合要求，应该将其打印出来，并将x指向其后继节点。
5. 遍历完树中所有键值符合要求的节点后，Morris遍历算法结束。

具体算法实现可以参考下面的Python代码：

def print_bst_keys(root, left, right):
    cur = root
    while cur:
        if cur.left is None:
            if left <= cur.val <= right:
                print(cur.val)
            cur = cur.right
        else:
            pre = cur.left
            while pre.right and pre.right != cur:
                pre = pre.right
            if pre.right is None:
                pre.right = cur
                cur = cur.left
            else:
                pre.right = None
                if left <= cur.val <= right:
                    print(cur.val)
                cur = cur.right

其中，cur代表当前遍历到的节点，pre代表cur的前驱节点，如果pre.right为None，则将其指向cur（使其后继节点为cur），并将cur指向其左子树；否则，说明在之前遍历过pre了，此时应该将pre.right设置为None，将cur指向其右子树。

指针向上回溯方式

除了Morris遍历之外，我们还可以采用指针向上回溯的方式来实现在给定范围内打印BST键的操作。这种方式的核心思想是，从下到上遍历树的过程中判断当前节点是否为其父节点的左子树，如果是，则打印所有在右子树中且键值大于等于left的节点；如果不是，则继续向上回溯，直到找到一个节点其为其父节点的左子树。然后就可以按照之前的方式，打印所有在右子树中且键值大于等于left的节点了。

具体算法步骤如下：

1. 首先，初始化当前节点为根节点root。
2. 如果当前节点x的值小于left，说明x及其右子树中所有节点的键值均不在给定区间内，因此应该将x指向其右子树的根节点，继续遍历。
3. 如果当前节点x的值大于right，说明x及其左子树中所有节点的键值均不在给定区间内，此时应该向上回溯，直到找到一个节点其为其父节点的左子树，并将x指向其父节点的右子树，继续遍历。
4. 如果当前节点x的值在[left, right]范围内，说明x的键值符合要求，应该将其打印出来，并将x指向其右子树的根节点。
5. 遍历完树中所有键值符合要求的节点后，指针向上回溯算法结束。

具体算法实现可以参考下面的Python代码：

def print_bst_keys(root, left, right):
    cur = root
    while cur:
        if cur.left and cur.left.val >= left:
            cur = cur.left
        elif cur.right and cur.right.val <= right:
            cur = cur.right
        elif left <= cur.val <= right:
            print(cur.val)
            cur = cur.right
        else:
            cur = cur.parent

其中，cur代表当前遍历到的节点，如果cur.left.val >= left，则说明应该遍历cur的左子树；如果cur.right.val <= right，则说明应该遍历cur的右子树；如果left <= cur.val <= right，则说明cur的键值符合要求，应该将其打印出来，并遍历cur的右子树；否则，说明cur的键值不符合要求，应该向上回溯，持续遍历父节点和祖先节点，直到找到一个节点其为其父节点的左子树。