检查在给定图中是否存在从 U 到 V 的具有较小个体权重的替代路径

介绍

在图论中，路径是一个顶点序列，顶点之间通过边相连。本题目中，我们需要找出从给定的起始顶点 U 到另一个顶点 V 的所有路径中的较小个体权重路径，即路径上各边边权的和最小的路径。

解法

使用 Dijkstra 算法可以找到从起始顶点 U 到所有其他顶点的最短路径。然而，当我们需要找到具有较小个体权重的替代路径时，我们需要对 Dijkstra 算法进行一些修改。

算法流程如下：

1. 初始化距离数组 dist[] 和路径数组 path[]，并将起始顶点 U 的距离设为0，其他顶点的距离设为正无穷大。
2. 将起始顶点 U 加入优先队列 queue 中，并设置当前路径权重为0。
3. 如果队列 queue 不为空，取出队首顶点 node 和其路径权重 path_weight。
4. 如果顶点 node 的距离 dist[node] 已经小于当前路径权重 path_weight，说明存在另一条更短的路径，直接跳过。
5. 否则，更新 node 的距离 dist[node] 为 path_weight，并更新 node 的路径数组 path[]。
6. 遍历 node 的所有邻居，将邻居加入到队列中，并更新其路径权重为 path_weight + 当前边的边权。
7. 重复步骤 3 - 6，直到队列为空或者找到了目标顶点 V。

最终，如果路径数组 path[] 中存在一条从起始顶点 U 到目标顶点 V 的路径，则该路径即为较小个体权重的替代路径。

代码实现

Python

import heapq

def dijkstra(graph, start, end):
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    dist[start] = 0
    path = {start: []}
    queue = [(0, start, [])]

    while queue:
        (path_weight, node, path_list) = heapq.heappop(queue)
        if node == end:
            return path[node] + [node]

        if path_weight > dist[node]:
            continue

        for neighbor, weight in graph[node].items():
            new_path = path[node] + [node]
            neighbor_weight = path_weight + weight
            if neighbor_weight < dist[neighbor]:
                dist[neighbor] = neighbor_weight
                path[neighbor] = new_path
                heapq.heappush(queue, (neighbor_weight, neighbor, new_path))

    return []

C++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
typedef unordered_map<int, unordered_map<int, int>> Graph;

vector<int> dijkstra(const Graph& graph, int start, int end) {
    unordered_map<int, int> dist;
    unordered_map<int, vector<int>> path;
    priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>> pq;

    pq.emplace(0, start);
    dist[start] = 0;
    path[start] = vector<int>{};

    while (!pq.empty()) {
        int node = pq.top().second;
        int path_weight = pq.top().first;
        pq.pop();

        if (node == end) {
            return path[node];
        }

        if (path_weight > dist[node]) {
            continue;
        }

        for (auto& [neighbor, weight] : graph.at(node)) {
            vector<int> new_path = path[node];
            new_path.push_back(node);
            int neighbor_weight = path_weight + weight;

            if (!dist.count(neighbor) || neighbor_weight < dist[neighbor]) {
                dist[neighbor] = neighbor_weight;
                path[neighbor] = new_path;
                pq.emplace(neighbor_weight, neighbor);
            }
        }
    }

    return {};
}

int main() {
    Graph graph {{1, {{2, 1}, {3, 2}}}, {2, {{4, 3}, {5, 4}}}, {3, {{5, 2}}}, {4, {{5, 1}}}, {5, {}}};
    auto path = dijkstra(graph, 1, 5);

    if (path.empty()) {
        cout << "No path found from start to end." << endl;
    } else {
        cout << "The shortest path from start to end is: ";
        for (int node : path) {
            cout << node << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

总结

本题目需要结合 Dijkstra 算法进行求解。通过优先队列维护已访问节点的最小路径权重，并更新每个节点的最短路径和路径数组，最终得到起始顶点 U 到目标顶点 V 的较小个体权重的替代路径。