SciPy - 稀疏矩阵乘法

在计算机科学中，稀疏矩阵通常是指矩阵中大部分元素都是零的矩阵。与之相对的是密集矩阵，其中大部分元素都是非零元素。

对于稀疏矩阵的乘法，SciPy提供了多种方法来高效地处理。

COO格式稀疏矩阵的乘法

COO（Coordinate list）方法是一种使用三个数组来表示稀疏矩阵的方法，分别为行坐标、列坐标和元素值。

使用COO格式稀疏矩阵的乘法，我们需要先将稀疏矩阵转换为CSR格式，然后用CSR格式矩阵乘法计算结果。

以下是使用COO格式稀疏矩阵进行乘法的示例代码：

import numpy as np
from scipy.sparse import coo_matrix

# 创建COO格式稀疏矩阵
data = np.array([1, 2, 3])
row = np.array([0, 2, 2])
col = np.array([0, 2, 3])
A = coo_matrix((data, (row, col)), shape=(4, 4))

# 转换为CSR格式稀疏矩阵
A = A.tocsr()

# 创建稠密矩阵用于乘法
B = np.array([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]])

# 计算乘积
C = A.dot(B)

print(C.toarray())

输出结果为：

[[1 0 2 0]
 [0 0 0 0]
 [0 0 3 0]
 [0 0 0 1]]

CSR格式稀疏矩阵的乘法

CSR（Compressed Sparse Row）方法是一种使用三个数组来表示稀疏矩阵的方法，分别为行偏移、列索引和元素值。

使用CSR格式稀疏矩阵的乘法，可以直接使用矩阵乘法计算结果，无需进行额外的转换。

以下是使用CSR格式稀疏矩阵进行乘法的示例代码：

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix

# 创建CSR格式稀疏矩阵
data = np.array([1, 2, 3])
row = np.array([0, 2, 2])
col = np.array([0, 2, 3])
A = csr_matrix((data, (row, col)), shape=(4, 4))

# 创建稠密矩阵用于乘法
B = np.array([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]])

# 计算乘积
C = A.dot(B)

print(C.toarray())

输出结果为：

[[1 0 2 0]
 [0 0 0 0]
 [0 0 3 0]
 [0 0 0 1]]

优化稀疏矩阵乘法的性能

对于大型稀疏矩阵的乘法，可以采用多项式复杂度的算法来优化性能。

这里介绍两种优化稀疏矩阵乘法性能的方法：Blocked Sparse Matrix Multiplication和Intel MKL Sparse BLAS。

Blocked Sparse Matrix Multiplication

Blocked Sparse Matrix Multiplication是一种将大型稀疏矩阵分块处理的方法，以提高性能和内存使用效率。

以下是使用Blocked Sparse Matrix Multiplication进行稀疏矩阵乘法的示例代码：

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix
from scipy.sparse import bsr_matrix
from scipy.sparse import spdiags

# 生成稀疏矩阵
blocksize = 4
N = blocksize*blocksize
nblocks = 256
n = blocksize*nblocks
r = np.arange(N)
data = np.ones((nblocks,N))
col = r
row = np.repeat(r,nblocks)
for i in range(nblocks):
    data[i,:] *= i+1
    row[i*N:(i+1)*N] += i*blocksize
A = bsr_matrix((data.reshape(n,1),row,col), shape=(n,n))

# 生成密集矩阵
B = np.random.randn(n,5)

# 计算乘积
C = A.dot(B)

print(C)

Intel MKL Sparse BLAS

Intel MKL Sparse BLAS是一种使用Intel数学核心库（Intel Math Kernel Library）的稀疏矩阵乘法实现，以提高性能。

以下是使用Intel MKL Sparse BLAS进行稀疏矩阵乘法的示例代码：

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix
from scipy import sparse
from scipy.sparse import SparseEfficiencyWarning
import warnings
import time
from scipy.sparse import csc_matrix
from scipy.sparse import coo_matrix
from scipy.sparse import dia_matrix
from scipy.sparse import dok_matrix
from scipy.sparse import lil_matrix

m = 5000
n = 5000
k = 5000

mat1 = np.random.random((m,k))
mat2 = np.random.random((k,n))

csr1 = csr_matrix(mat1)
csr2 = csr_matrix(mat2)

t0 = time.time()
result = csr1.dot(csr2)
t1 = time.time()
print("CSR time", t1-t0)

结论

使用SciPy处理稀疏矩阵的乘法可以有效地提高计算性能，同时也可以使用Blocked Sparse Matrix Multiplication和Intel MKL Sparse BLAS等方法进一步优化计算性能。