MATLAB 中 inv() 和 pinv() 函数的区别

在 MATLAB 中，inv() 和 pinv() 都是用来求矩阵的逆的函数。但是它们之间还是有些区别的。在本文中，我们将详细介绍这两个函数的区别。

inv() 函数

inv() 函数是用来求方阵的逆的。具体来说，对于一个 $n$ 阶方阵 $A$，如果它的行列式 $\det(A) \neq 0$，那么 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 就存在，且可以使用 inv() 函数来求得：

A_inv = inv(A);

需要注意的是，当 $A$ 的行列式为 $0$ 时，它的逆矩阵就不存在，inv() 函数将会返回一个空矩阵。此外，对于非方阵 $A$，inv() 函数也无法计算它的逆矩阵。

pinv() 函数

pinv() 函数是用来求广义逆矩阵的。所谓广义逆矩阵，是指对于任意矩阵 $A$，都存在一个矩阵 $A^{\dagger}$，使得下面两个等式成立：

$$A A^{\dagger} A = A$$

$$A^{\dagger} A A^{\dagger} = A^{\dagger}$$

如果 $A$ 是满秩（即 $\mathrm{rank}(A) = \min(m,n)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是 $A$ 的行数和列数），则 $A^{\dagger}$ 就是 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$。如果 $A$ 不满秩，那么 $A^{\dagger}$ 仍然是存在的，但它不再等于 $A^{-1}$。

为什么要引入广义逆矩阵呢？因为在实际计算中，我们遇到的矩阵往往不是满秩的，而且可能还存在奇异矩阵（即行列式为 $0$ 的矩阵）。此时，我们无法直接使用 inv() 函数来求逆矩阵，而要使用 pinv() 函数来求广义逆矩阵。例如：

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12];
B = [1 2; 3 4; 5 6];

A_pinv = pinv(A);
B_pinv = pinv(B);

需要注意的是，当矩阵 $A$ 是满秩矩阵时，pinv(A) 将等于 inv(A)。

总结

inv() 函数是用来求方阵逆矩阵的函数，只有方阵才能使用。pinv() 函数是用来求广义逆矩阵的函数，适用于任意矩阵。当矩阵满秩时，两个函数的结果相同。当矩阵不满秩时，inv() 函数将无法计算矩阵的逆矩阵，而 pinv() 函数仍然可以计算出其广义逆矩阵。