📅 最后修改于: 2023-12-03 14:49:32.883000 🧑 作者: Mango
在图形学、计算几何、机器学习等领域中，优化点的位置以最小化总距离是一个非常常见的问题。其应用十分广泛，例如：
本文将为程序员介绍该问题的常见解法及其实现。
给定一个 $n\times d$ 维的矩阵 $X$，其中 $n$ 表示点的数量，$d$ 表示每个点的维度。我们的目标是选择一个 $k$ 维点集 $S$，其中 $k < d$，以最小化下式：
$$ \sum_{i=1}^n \min_{x_j\in S}\Vert x_i-x_j \Vert_2^2 $$
其中 $\Vert x_i-x_j \Vert_2^2$ 表示点 $x_i$ 和 $x_j$ 之间的欧几里得距离。
最简单的解法是采用贪心策略。具体而言，我们可以选择随机选取 $k$ 个点作为初始点集 $S$，然后迭代地进行以下步骤：
这个算法时间复杂度为 $O(kn^2)$，其中 $n$ 表示点的数量。虽然该算法时间复杂度很高，但实际上它在许多情况下都可以得到不错的结果。
如果我们采用 KD 树等树形数据结构，可以将时间复杂度降为 $O(kn\log n)$。具体而言，我们可以在 KD 树上进行以下步骤：
这个算法的时间复杂度取决于 KD 树的建立时间和遍历时间。因此，如果 $k$ 的值比较小，这种方法会比较有效。
如果我们将点集 $X$ 转换为一个矩阵，可以使用矩阵分解算法来解决该问题。具体而言，我们可以将矩阵 $X$ 分解为两个矩阵 $U$ 和 $V$：
$$ X=UV^T $$
其中 $U$ 是 $n\times k$ 矩阵，$V$ 是 $d\times k$ 矩阵。我们的目标是最小化 $U$ 的第 $i$ 行与 $U$ 的第 $j$ 行之间的欧几里得距离，即：
$$ \sum_{i,j=1}^n \Vert U_i-U_j \Vert_2^2 $$
可以使用陆续二次最小二乘算法（alternating least squares，ALS）或随机梯度下降算法（stochastic gradient descent，SGD）对矩阵 $U$ 进行优化，从而解决该问题。这个算法的时间复杂度为 $O(nk^2)$ 或 $O(nkd)$。
在实际应用中，不同的算法适用于不同的问题。如果可以容忍一定的时间复杂度，贪心算法是一个非常好的选择。如果需要更快速的算法，可以使用 KD 树或矩阵分解算法。因此程序员可以根据具体问题选择最适合的算法。