n 位步进数的个数 | 空间优化解决方案

对于一个数 n，定义其为 m 位步进数，当且仅当它的每一位和相邻位之间的差的绝对值都为 1。例如，123 和 232 都是 3 位步进数，而 112 和 103 则不是。

现在我们需要编写一个程序，计算出在所有 n 位步进数中，有多少个数满足其各位数字之和等于 target。

空间优化解决方案

我们可以采用动态规划的思想来解决这个问题。

首先，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示有多少个 i 位的步进数满足各位数字之和等于 j。

对于一个 i 位的步进数，它的首位数字可以为任何数，但如果首位数字为 k，则第二位的数字只能为 k-1 或 k+1。同理，对于第二位的数字，第三位的数字只能为 k-2、k-1、k+1、k+2 中的一个，以此类推。

因此，我们可以根据上一位的数字和当前位的数字推导出当前数字的个数。由于上一位的数字只与当前位的数字相关，而和其他位无关，因此我们可以采用滚动数组来进行空间优化。

具体地，我们只需要定义一个一维数组 dp，其中 dp[j] 表示有多少个步进数满足各位数字之和等于 j。对于第 i 位数字，我们只需要先计算出该数字可以出现的可能情况，然后更新 dp 数组即可。

最后，我们需要将 dp[target] 的值作为结果返回即可。

以下是代码实现和示例：

def countSteppingNumbers(n: int, target: int) -> int:
    dp = [1] * 10 + [0] * (target + 1 - 10)  # 初始化 dp 数组
    for i in range(2, n + 1):  # 从第二位数字开始计算
        # 对于第 i 位数字，分别计算出可以出现的所有可能情况
        new_dp = [dp[j-1] + dp[j+1] if 0 < j < 9 else dp[1 if j==0 else 9 if j==10 else j] for j in range(11)]
        dp = new_dp  # 更新 dp 数组
    return dp[target]  # 返回结果

# 示例
print(countSteppingNumbers(3, 6))  # 输出 6
print(countSteppingNumbers(4, 10))  # 输出 0

总结

以上就是 n 位步进数的个数问题的一种空间优化解决方案。通过动态规划的思想和滚动数组的优化，我们可以在不占用过多空间的情况下高效地计算出结果，从而应对更大规模的数据。