n位步进数的数量 | 空间优化的解决方案

什么是步进数？

步进数是一种数字序列，它的各个数字之间的差值都相等。例如，123、4567、89都是步进数，而234、3456、6789则不是。

问题描述

我们需要编写一个算法，计算出长度为n的步进数的数量。其中，n为正整数且n<=10^9。

解决方案

朴素算法

首先，我们可以考虑使用朴素算法解决这个问题。具体来说，我们可以从所有长度为n的数字中筛选出步进数，并计数。

具体实现中，我们可以使用一个flag数组来记录该数字是否为步进数。我们首先将flag数组初始化为true，然后从2开始遍历到n，每次遍历都更新flag数组。最后，我们就可以遍历每个数字，统计步进数的数量。

朴素算法可以解决问题，但是在n比较大的情况下，时间和空间复杂度都会非常高。对于一些有限制条件的问题，我们通常需要考虑能否优化解决方案。

空间优化

观察朴素算法中的flag数组，我们可以发现其中很多元素其实是没有意义的。换言之，我们只需要记录当前数字的前一位，就可以判断它是否为步进数。

具体来说，我们可以使用两个变量，cur和prev。其中，cur表示当前数字的前一位，而prev表示当前数字的前两位。

考虑如何计算cur。假设当前数字为num，我们可以使用一个while循环，每次循环都将num除以10，直到它除以10的余数不等于0。而每次循环结束前，我们都可以计算出num%10和num/10的值。其中，num%10即为当前数字，num/10则为当前数字的前一位。

计算prev可以使用与计算cur类似的方法。不过，我们需要多加一个变量来记录当前数字的前三位，以确保prev的正确性。

这样，我们便可以使用两个变量来完成判断步进数的任务，从而实现空间优化。

代码实现

/**
 * 计算n位步进数的数量
 * n: 步进数位数
 * 返回值: n位步进数的数量
 **/
long long countSteppingNumbers(int n) {
    // 特判
    if(n <= 0) {
        return 0;
    }
    else if(n == 1) {
        return 10;
    }
    
    // 初始化
    long long prev = 0;
    long long cur = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        long long tmp = cur;
        cur = prev + cur;
        prev = tmp;
    }
    
    // 计算结果
    return 10 * cur - prev;
}

注：以上代码实现以C++为例。由于篇幅限制，代码中对输入进行了特判处理。具体实现中，需要根据实际情况进行相应的修改。