国际空间研究组织 | ISRO CS 2020 | 问题 52

本题考查的是动态规划问题，具体要求如下：

给定一组 n 个硬币，它们的面值为 v1,v2,...,vn。(注意，这些硬币不一定是整数)。你可以选择任意数量的硬币，使它们的总价值正好为 S。请输出所有可行的组合数。

问题分析

该问题可以采用动态规划的思想来解决。定义一个二维数组 dp[i][j] 表示前 i 个硬币能够凑成总价值为 j 的方案数。

对于第 i 个硬币，有两种情况：

• 不选第 i 个硬币，则总方案数为 dp[i-1][j]
• 选第 i 个硬币，则总方案数为 dp[i][j-vi]，其中 vi 表示第 i 个硬币的面值

综合上述两种情况，得到状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-vi];

边界条件为：

• dp[i][0] = 1，表示凑成总价值为 0 的方案只有一种，就是不选任何硬币
• dp[0][j] = 0，表示不使用任何硬币不能凑出任何总价值

最终的答案即为 dp[n][S]。

代码实现

下面是该问题的 Python 代码实现：

def count_combinations(coins, S):
    n = len(coins)
    dp = [[0] * (S+1) for _ in range(n+1)]

    # 初始化边界条件
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 1

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, S+1):
            if j >= coins[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-coins[i-1]]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]

    return dp[n][S]

复杂度分析

动态规划的时间复杂度为 O(nS)，空间复杂度为 O(nS)。其中 n 是硬币的数量，S 是总价值。