如何通过直接方法找到分组数据的平均值？

简而言之，统计意味着收集、整理、检查、解释并以可理解的方式呈现数据的过程，以使人们能够对其形成意见并在必要时采取必要的行动。例子：

老师收集学生的分数，按升序或降序排列，计算班级平均分，或找出不及格的学生人数，通知他们，让他们开始努力。
政府官员为人口普查收集数据，并将其与以前的记录进行比较，以了解人口增长是否得到控制。
分析一个国家特定宗教的信徒数量。

统计工具

最流行的统计工具如下：

算术平均值：也称为平均值，给定数据集的算术平均值是通过将数据中的数字相加并将如此获得的总和除以观测值的数量来计算的。
中位数：将一组给定统计数据的较高值和较低值分开的值称为中位数。
众数：在给定的一系列统计数据中出现频率最高的值称为众数。
标准偏差：表示统计系列的某些值与其平均值或中位数趋于变化或分散的程度的值称为标准偏差。
范围：这样的值描述了系列中最高值和最低值之间的差异。
相关性：这种有助于研究两个变量之间关系的统计工具称为相关性。

分组数据

以类间隔的形式而不是作为单个单元表示的此类数据称为分组数据。顾名思义，观察被组合在一起形成区间，然后分配与属于该特定区间的所有单元在给定数据集中出现的次数有关的频率。这样的间隔使得分析手头的数据集变得非常容易，并有助于有效和快速地解释和沟通。

例子：

A teacher assigned with the task of marking 60 students’ papers (out of 100 marks) can divide the data set in 10 groups, like students who have scored between 0 and 10 would be put under 0- 10 class interval, those who got between 10 and 20 would be put in 10- 20 interval, and so on until the last group (interval) becomes 90- 100. Such division is shown as follows:

Alternatively, the teacher could have made 5 class intervals by choosing aa class size of 20, which is shown as follows:

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这种对数据进行分组的方法使得计算集中趋势的度量变得非常容易，尤其是当数据集很大时，比如上面的例子。写下所有60个学生的分数，按升序排列计算中位数，或者列出它们，加起来除以60计算算术平均值，这将是一个繁琐的过程。换句话说，分组使数据集缩小了一点，从而可以简化计算过程，并且在处理如此大的未分组数据集的情况下存在错误的机会，因此可以有效地计算结果。

分组数据的算术平均值

为了计算分组数据的算术平均值，需要执行以下步骤：

计算给定数据集中类区间的中点。用“m”表示的中点或等级分数是通过将上下限相加并将所述总和除以 2 来计算的。换句话说，需要找到上限和下限的平均值一个特定的类来获得中分。

例子：

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将给定类间隔的频率（用“f”表示）乘以它们各自的类标记，用“m”表示。将所有 f 与相应的 m 相乘后，将所有这些结果相加以将其描述为 Σfm。
将所有频率加在一起，并用 Σf 表示。
将频率和 (Σf) 除以中点和频率的乘积之和 (Σfm)。
如此获得的数字是给定数据集的算术平均值。

Hence, arithmetic mean for a given data set where class marks are m, and frequencies are f, through direct method is calculated using the following formula:

$X̄ = \frac{Σfm}{ Σf}$

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示例问题

问题 1. 使用直接法计算以下数据集的算术平均值：

Marks Scored	Number of Students
0 – 10	5
10 – 20	10
20 -30	3
30 – 40	10
40 – 50	4
50 – 60	7
60 – 70	9
70 – 80	6
80 – 90	4
90 – 100	2

解决方案：

For the computation of mean, we need to calculate the class intervals of the given class intervals. This is done as follows:

Marks	Number of Students(f)	Mid- Points(m)	fm
0 – 10	5	5	25
10 – 20	12	15	180
20 – 30	14	25	350
30 – 40	10	35	350
40 – 50	9	45	405
	Σf = 50		Σfm = 1310

Mean = X̄ = $\frac{Σfm}{ Σf}$ = $\frac{1310}{50}$ = 26.2

Hence, the mean of the given data set is 26.2

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问题 2. 使用直接法计算以下数据集的算术平均值：

Marks Scored	Number of Students
0 – 20	15
20 – 40	13
40 – 60	11
60 – 80	15
80 – 100	6

解决方案：

For the computation of mean, we need to calculate the class intervals of the given class intervals. This is done as follows:

Class Intervals	Frequency(f)	Mid- Points(m)	fm
0 – 2	2	1	2
2 – 4	4	3	12
4 – 6	6	5	30
6 – 8	8	7	56
8 – 10	10	9	90
	Σf = 30		Σfm = 190

Mean = X̄ = $\frac{Σfm}{ Σf}$ = $\frac{190}{30}$ = 6.33

Hence, the mean of the given data set is 6.33

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问题 3. 使用直接法计算以下数据集的算术平均值：

Class Intervals	Class Marks/ Mid- points
0 – 10	$\frac{0+10}{2}$ = 05
10 – 20	$\frac{10+20}{2}$ = 15
20 – 30	$\frac{20+30}{2}$ = 25
30 – 40	$\frac{30+40}{2}$ = 35
40 – 50	$\frac{40+50}{2}$ = 45

解决方案：

For the computation of mean, we need to calculate the class intervals of the given class intervals. This is done as follows:

Class Intervals	Frequency(f)	Mid- Points(m)	fm
10 – 20	5	15	75
20 – 30	3	25	75
30 – 40	4	35	140
40 – 50	7	45	315
50 – 60	2	55	110
60 – 70	6	65	390
70 – 80	13	75	975
	Σf = 40		Σfm = 2080

Mean = X̄ = $\frac{Σfm}{ Σf}$ = $\frac{2080}{40}$ = 52

Hence, the mean of the given data set is 52.

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问题 4. 使用直接法计算以下数据集的算术平均值：

Marks	Number of Students
0 – 10	5
10 – 20	12
20 – 30	14
30 – 40	10
40 – 50	9

解决方案：

For the computation of mean, we need to calculate the class intervals of the given class intervals. This is done as follows:

Class Intervals	Frequency(f)	Mid- Points(m)	fm
100 – 120	4	110	440
120 – 140	6	130	780
140 – 160	10	150	1500
160 – 180	8	170	1360
180 – 200	5	190	950
	Σf = 33		Σfm = 5030

Mean = X̄ = $\frac{Σfm}{ Σf}$ = $\frac{5030}{33}$ = 152.42

Hence, the mean of the given data set is 152.42

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