最小化使两个字符串相等所需的移除或插入

问题描述

给定两个字符串 S 和 T，只能通过以下两种操作将 S 转换成 T：

1. 将 S 中的一个字符删除。

2. 在 S 的任意位置插入一个字符。

求使得 S 转变成 T 的最小操作数。

解法

从问题描述中我们可以发现，本题其实就是一个字符串编辑距离问题。

字符串编辑距离问题是指给定两个字符串 S 和 T，通过 删除、插入、替换 三种操作将 S 转换成 T 所需的最少步骤数。

常见的解决字符串编辑距离问题的算法有以下几种：

1. 动态规划算法

2. BFS 算法

3. 双指针算法

对于本题来说，因为只涉及到删除和插入两种操作，没有替换操作，所以只需要使用动态规划算法即可解决。

动态规划算法的思路如下：

1. 定义状态

我们设 dp[i][j] 表示字符串 S 的前 i 个字符和字符串 T 的前 j 个字符匹配所需要的最小操作数。

2. 初始化状态

当 S 或 T 为空字符串，dp[i][j] 即为另一个非空字符串的长度。

3. 状态转移方程

我们考虑当前需要处理的字符：

如果 S[i] == T[j]，则不需要进行操作，dp[i][j] = dp[i-1][j-1]；

如果 S[i] != T[j]，有两种操作：

• 插入操作：将 S 中插入一个字符，使得 S[0 : i-1] 和 T[0 : j] 匹配，由于插入一个字符后 S 的长度加1，所以 dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1；

• 删除操作：将 S 中删除一个字符，使得 S[0 : i] 和 T[0 : j-1] 匹配，由于删除一个字符后 S 的长度减1，所以 dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1；

状态转移方程如下：

if (S[i-1] == T[j-1]) {
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
} else {
    dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]) + 1;
}

4. 最终解

最终要求的就是 dp[n][m]，n 和 m 分别是字符串 S 和 T 的长度。

代码实现

Python 代码如下：

def minOperations(S: str, T: str) -> int:
    n, m = len(S), len(T)
    # 定义状态
    dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    # 初始化状态
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(1, m+1):
        dp[0][j] = j
    # 状态转移
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if S[i-1] == T[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]) + 1
    # 返回结果
    return dp[n][m]

总结

本题是一道典型的字符串编辑距离问题，通过动态规划算法可以求解。

需要注意的是，在 Python 中字符串是不可变对象，需要使用下标访问字符串的每个字符，而不能直接修改字符串。