证明：为什么没有平方为2的有理数？

本文重点讨论不存在平方为2的有理数的证明。在开始证明之前，让我们先熟悉一下基本术语——

有理数：
可以用 p/q 形式表示的数，其中 p 和 q 是整数，q ≠ 0，称为有理数。例如 0、1、-1、5/2 等。

问题陈述：
不存在平方为 2 的有理数。

解决方案：
让我们从上述问题陈述的证明开始。本文中的证明将使用一种称为矛盾证明的数学技术来完成。

矛盾证明-
它是一种数学技术，首先假设需要证明的命题是假的，然后使用假命题推导出结果，这与假设或任何其他众所周知的数学结果相矛盾.从而证明命题的有效性。这就是为什么这种技术被称为矛盾证明的原因。

证明-
在这个证明中，使用了矛盾证明技术，首先假设存在一个平方等于 2 的有理数，然后使用这个假设推导出一个结果，这将与我们的假设相矛盾。所以。让我们开始证明——

1. 假设存在一个有理数X = p/q，其平方等于2，使得p 和q 是最简单的形式，即它们没有任何公因数。

X2 = 2 (Assumption)
(p/q)2 = 2 (Since X is a rational number)

2. 这意味着，

p2/q2 = 2
p2 = 2q2 ---(1)

3. 由上式可知p ²是偶数，可以用2k的形式表示，其中k = q ² 。现在知道奇数的平方总是奇数，也就是说p不可能是奇数，所以p也是偶数。因此，p 可以表示为 2k 的形式，其中 k 是某个整数，即

p = 2k, for some integer k ---(2)

3. 现在，将等式 (2) 中的 p 值代入等式 (1) 后，得到以下等式 -

(2k)2 = 2q2
4k2 = 2q2 ---(3)

3.将两边除以2，在等式（3）中，得到以下等式-

2k2 = q2
q2 = 2k2 ---(4)

4. 再次，可以说q ²是偶数，并且由于已知奇数的平方总是奇数，所以q不可能是奇数。这意味着 q 也是一个偶数。

5. 现在，从上面的讨论中，可以得出结论 p 和 q 都是偶数，即它们的公因数至少为 2，但是这个陈述与证明开始时 p 和 q 在他们最简单的形式，即他们没有任何共同的因素。

这个矛盾意味着存在一个有理数 X = p/q 其平方等于 2 使得 p 和 q 是最简单的形式的假设是错误的。从而证明不存在平方等于2的有理数。