握手引理和有趣的树属性

什么是握手引理？
握手引理是关于无向图的。在每个有限无向图中，偶数个顶点的度数总是奇数。握手引理是度数和公式的结果（有时也称为握手引理）
$\sum_{u \epsilon v} deg(v) = 2\left | E \right |$

握手引理在树数据结构中有何用处？
以下是可以使用握手引理证明的一些有趣事实。

1) 在每个节点有 0 或 k 个子节点的 k-ary 树中，以下属性始终为真。

L = (k - 1)*I + 1
Where L = Number of leaf nodes
      I = Number of internal nodes

证明：
证明可以分为两种情况。

情况1 (Root is Leaf)：树中只有一个节点。上面的公式对于单个节点是正确的，因为 L = 1，I = 0。

情况 2 （根是内部节点）：对于超过 1 个节点的树，根始终是内部节点。对于这种情况，可以使用握手引理证明上述公式。树是无向无环图。

树的总边数是节点数减1，即|E| = L + I – 1。

在给定类型的树中，除根以外的所有内部节点的度数为 k + 1。根的度数为 k。所有叶子的度数都是 1。将握手引理应用于这些树，我们得到以下关系。

Sum of all degrees  = 2 * (Sum of Edges)

  Sum of degrees of leaves + 
  Sum of degrees for Internal Node except root + 
  Root's degree = 2 * (No. of nodes - 1)

  Putting values of above terms,   
  L + (I-1)*(k+1) + k = 2 * (L + I - 1) 
  L + k*I - k + I -1 + k = 2*L  + 2I - 2
  L + K*I + I - 1 = 2*L + 2*I - 2
  K*I + 1 - I = L
  (K-1)*I + 1 = L

所以上面的性质是用握手引理证明的，让我们讨论一个更有趣的性质。

替代证明：（不使用握手定理）
由于有 I 个内部节点，每个节点都有 K 个子节点，因此树中的子节点总数 = K * I。

有 I-1 个内部节点是某个其他节点的子节点（根已被排除，因此比内部节点的总数少一个）

也就是说，在这些 K*I 子节点中，I-1 是内部节点，因此其余 (K*I – (I-1)) 是叶节点。

因此 L = (K-1)*I + 1。 2）在二叉树中，叶子节点的数量总是比有两个孩子的节点多一。

L = T + 1
Where L = Number of leaf nodes
      T = Number of internal nodes with two children

证明：
令有2个孩子的节点数为T。证明可分为三种情况。

案例1：只有一个节点，关系成立
当 T = 0，L = 1。

情况2：根有两个孩子，即根的度数为2。

Sum of degrees of nodes with two children except root + 
   Sum of degrees of nodes with one child + 
   Sum of degrees of leaves + Root's degree = 2 * (No. of Nodes - 1)   

   Putting values of above terms,
   (T-1)*3 + S*2 + L + 2 = (S + T + L - 1)*2

   Cancelling 2S from both sides.
     (T-1)*3 + L + 2 = (T + L - 1)*2
     T - 1 = L - 2
     T = L - 1

案例3：根有一个孩子，即根的度数为1。

Sum of degrees of nodes with two children + 
   Sum of degrees of nodes with one child except root + 
   Sum of degrees of leaves + Root's degree = 2 * (No. of Nodes - 1)   

   Putting values of above terms,
   T*3 + (S-1)*2 + L + 1 = (S + T + L - 1)*2

   Cancelling 2S from both sides.
     3*T + L -1 = 2*T + 2*L - 2
     T - 1 = L - 2
     T = L - 1

因此，在所有三种情况下，我们得到 T = L-1。

我们已经讨论了使用握手引理证明树的两个重要属性。关于这些属性已经提出了许多 GATE 问题，以下是一些链接。