计算理论中的引理

计算理论是计算机科学的分支之一，它关注计算问题及计算机的性质及其极限。在计算理论中，有许多重要的引理，本文将简单介绍其中几个。

1. Rice定理

Rice定理是计算理论中的一项基本定理。它说明，对于任何非平凡性质（既不为所有程序都满足，也不为所有程序都不满足）都无法进行泛化。

例如，一个编写于Python中的程序，它的输出为字符串“hello world”。那么，我们不可能通过简单的代码来判断这个Python程序的具体功能，比如说它是一个 SMTP (Simple Mail Transfer Protocol) 服务器，还是一个由若干个字符串链接而成的文件。

2. Gödel不完全定理

Gödel不完全定理是数学和计算理论中的重要定理，由Kurt Gödel于20世纪上半叶提出。它的主要思想是，任何能够描述自然数算术（包括加法、乘法、序数、指数等等）的形式化系统都存在一个可以判断出真假的命题，但是，这个系统没有办法证明这个命题的正确性。

该定理告诉我们，对于任何一个系统来说，它都存在着一些真正的命题是无法证明的。

3. 地板函数Theorem

地板函数Theorem是计算理论中的一项重要定理，它描述了一个程序是否可以被某个其他程序计算。

通俗地讲，地板函数Theorem就是回答了“是否有可能人为地创造出一种算法，可以用计算机判断它是否能够被另一个程序所计算”的问题。

根据地板函数Theorem，我们可以证明一类与计算无关的问题是不可计算的问题，例如，关于程序的代码长度和执行时间的相关问题。

4. 丘奇定理

丘奇定理也是计算理论中的重要定理，它是对于进行有效计算的（可行）定义的一个归纳描述。

丘奇定理的主要思想是，任何可计算的函数都可以被计算机模拟，而且在某些情况下，模拟的效率可能优于原有的计算方法。

根据丘奇定理，我们可以证明任何可计算的函数一定是递归函数、lambda函数或是一般的可计算函数。

def f(x):
  return x * 2

# 根据丘奇定理，上述函数即可被计算机模拟

5. 卡范林-托伯斯基定理

卡范林-托伯斯基定理是近代计算理论中的一项基本定理。它主要说明了，在任意一个被称为递归可枚举（recursive enumerable）的集合中，都存在着一些确实不可算的元素。

例如，假设整数集合是递归可枚举的，即可以用一个程序来枚举其中所有的元素。然而，按照卡范林-托伯斯基定理，这个集合中仍然存在着某些元素是无法被计算出来的（比如，那些仅仅需要考虑真正存在的计算机程序才能计算出来的元素）。

卡范林-托伯斯基定理有很多实际应用。例如，在计算语言中，我们可以使用它来构建一些程序或者语言的运行时环境，或者是进行程序分析和翻译等等。