前30个自然数之和是多少？

进程基本上是遵循特定逻辑和可预测模式的术语列表（通常是数字）。在每一种进展中，这两个术语之间都有一定的关系。级数的可预测性有助于形成该级数的通用公式，公式包括找到级数的第 n 项，找到级数的总和等。已知的级数主要分为三种类型，

进展类型

在数学中，数的级数主要可以分为三种具体类型：

• 算术级数
• 几何级数
• 谐波进行

让我们详细了解算术级数，

算术级数

算术级数基本上是一个数字序列，其存在方式使得任何两个连续数字之间的差异都是一个常数值或数量，这个差异被表示为“d”。 AP 中的第一项表示为“a”，最后一项（对于有限级数）表示为“n”。例如，考虑偶数自然数 2、4、6、8、10、……的序列。如果我们认为任何两个数字 (8-6) 之间的差为 2。算术级数的其他几个例子是奇数自然数列，自然数列。

算术级数的广义表示

第一项表示为“a”，共同差表示为“d”，因此，下一项应为a+d，下一项应为a+d+d，基于此，a可以形成表示 AP 的通用方式。算术级数可以表示为，

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ………. a+(n-1)d

在上述表达式中，“a”代表级数的第一项，“d”代表共同差

级数的最后一项“ _an ”表示为，

a_n = a + (n-1)d

AP的n项之和的公式是什么？

任何级数的总和基本上是其所有项的总和，对于一个AP的n项形成一个通用公式如果第一项表示为“a”，则公差表示为“d”，则数存在的术语表示为“n”，然后公式给出为，

S_n= $\frac{n}{2}$[2a+ (n-1)d]

$S_n= \frac{n}{2}[2a+ (n-1)d]$

要么

算术级数的 n 项之和也可以由 Sn 给出，

S_n = n * [First term+ Last term]/2

AP中n项之和的证明

让我们考虑算术级数的广义表示，上述序列中所有项的总和为，

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ………. a+ (n-1)d

S_n = (a+ a+ d+ a+ 2d+ a+ 3d+ a+ 4d+….. a+ (n-1)d) ⇢ (a)

Now lets rewrite the the above equation in reverse order we get the equation as,

S_n = (a + (n-1)d + a + (n-2)d + a + (n-3)d + ….. + a) ⇢ (b)

In the next step, add the equation (a) with equation (b), after addition, the result is as follows,

2S_n = (2a+ (n-1)d + 2a+ (n-1)d+…….. + 2a+ (n-1)d) (n terms)

2S_n = [2a + (n-1)d] × d

$S_n= \frac{n}{2}[2a+ (n-1)d]$

前30个自然数之和是多少？

解决方案：

First 30 natural numbers are 1 to 30. So, n = 30

From the above equation, it is known that, a =1, d = 2 – 1 = 1, and a_n = 30

Using the above equation of sum of n terms in an AP and substituting the values,

S_n = 30/2 [2 × 1+ (30-1) × 1]
S_n = 15 [2 + 29]
S_n = 15 [31]
S_n = 465

So, The sum of 1 to 30 is 465.

类似问题

问题1：10 到 40 的总和是多少？

解决方案：

From 10 to 40, there are total 31 numbers. So,  n = 31

From the given statement, it is known that, a = 10, d = 11-10 = 1, and a_n = 40

Using the above equation of sum of n terms in a AP and substituting the values,

S_n = n [a + a_n]/2
S_n = 31 [10 + 40]/2
S_n = 31 [25]
S_n = 775

So, The sum of the of 10 to 40 is 775.

问题 2：序列 3、6、9、12 的前 10 项的总和是多少？

解决方案：

From the given statement, it is known that, a = 3, d = 6-3 = 3, and n = 10

Using the above equation of sum of n terms in a AP and substituting the values,

S_n = 10/2 [2×3 + (10-1) × 3]
S_n = 5 [6 + 27]
S_n = 5 [33]
S_n = 165

So, The sum of the first 10 terms of given sequence is 165.