逆卡特兰变换（Inverse Coxeter-Weyl Transform）介绍

逆卡特兰变换（Inverse Coxeter-Weyl Transform, 简称ICWT）是计算组合数的一种新方法，它是介于常规组合数公式和生成函数之间的一种工具。

在具体应用中，逆卡特兰变换通常用于解决满足特定条件的排队问题，例如：

• 满足一定限制条件的括号序列的个数
• 满足一定限制条件的图形的个数
• 满足一定限制条件的排列的个数

逆卡特兰变换的基本思想

逆卡特兰变换是一种线性算法，它基于以下两个重要的性质：

• 逆卡特兰变换将某些数字的简单组合映射到了另一组数字
• ICWT是可逆的，即对于任意一个变换结果，都可以逆推回原始的数字序列

在逆卡特兰变换中，我们使用另一种变换——卡特兰变换，来将组合数转化为另一组数字序列。所以，我们首先要了解卡特兰变换的概念。

卡特兰变换的概念

卡特兰变换（Coxeter-Weyl Transform）是一种组合数计算方法，它可以将某些简单的组合映射到一组数字。

在具体应用中，卡特兰变换通常用于满足特定条件的排列组合问题，例如：

• 满足一定限制条件的括号序列的个数
• 满足一定限制条件的图形的个数

卡特兰变换的基本思想是将所有可能的组合按照一定的规则排列成一个表格，然后用特殊的算法将其转化成一组数字，这组数字称为“卡特兰数”。

逆卡特兰变换的例子

例1：给定一个长度为n的数组，其所有元素都是不同的。求其中所有可能的排列中，有多少个排列满足，它的任意连续的k个数中，恰好包含了k个不同的数？

一个长度为n的数组，共有$n!$种排列方法，如果对于任意的$i(1\leq i \leq n-k+1)$，其中任意连续的k个数中，恰好含有k个不同的数，则该排列符合条件。

设满足该条件的排列数为$a_n(k)$，则

$$a_n(k)=\frac{1}{k}\binom{n}{k}a_{n-k}(k)$$

这就是逆卡特兰变换的公式，我们可以通过此公式快速求出$a_n(k)$的值。

代码实现：

def inv_coxeter_transform(n, k):
    """逆卡特兰变换"""
    if n == k:
        return 1
    if k == 1:
        return math.factorial(n - 1)
    return (1 // k) * comb(n, k) * inv_coxeter_transform(n - k, k)

例2：给定一个长度为n的数组，求其中所有可能的排列中，有多少个排列满足，对于任意的$i(1 \leq i \leq n)$，其恰好有$i$个1在其前$i$个元素中？

一个长度为n的数组，共有$n!$种排列方法，如果对于任意的$i(1 \leq i \leq n)$，其恰好有$i$个1在其前$i$个元素中，则该排列符合条件。

设满足该条件的排列数为$a_n$，则

$$a_n = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$$

这也是逆卡特兰变换的公式，我们可以通过此公式快速求出$a_n$的值。

代码实现：

def inv_coxeter_transform(n):
    """逆卡特兰变换"""
    return 1 // n * comb(2 * n - 2, n - 1)

参考文献

• Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 2 (1999), Cambridge University Press.