Z变换属性

Z变换是一种广泛应用于信号处理和控制系统中的数学工具。它将离散时间信号转换成Z域上的复函数，为研究和设计数字信号处理系统提供了一种有效的数学方法。

Z变换具有许多重要的属性，这些属性可以帮助我们研究离散时间信号在Z域中的行为。以下是一些常见的Z变换属性：

线性性

Z变换是线性的，即有：

$az_1[n]+bz_2[n] \xrightarrow{Z} aZ_1(z)+bZ_2(z)$

其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$z_1[n]$ 和 $z_2[n]$ 是两个离散时间信号，$Z_1(z)$ 和 $Z_2(z)$ 是它们的Z变换。

移位性

离散时间信号在时间域的移位会导致其Z变换在Z域中的移位。具体来说，如果 $z[n] \xrightarrow{Z} Z(z)$，则

$z[n-k] \xrightarrow{Z} z^{-k}Z(z)$

其中 $k$ 是常数，$z^{-k}$ 是Z域中的移位因子。

初值定理

该定理规定Z变换在 $z=0$ 处的值等于离散时间信号的第一个样本的值，即：

$z[0] = Z(0)$

这个定理是理解Z变换的基础，也是推导其他定理的起点。

终值定理

该定理规定Z变换在 $z=\infty$ 处的值等于离散时间信号的稳态值，即：

$\lim_{z \to \infty} Z(z) = \lim_{n \to \infty} z[n]$

这个定理在分析系统的稳态性质时非常有用。

周期性

如果离散时间信号为 $z[n]$，其周期为 $N$，则Z变换 $Z(z)$ 也是周期的，其周期为 $\frac{2\pi}{N}$。该定理可以帮助我们分析周期信号在Z域中的性质。

差分性

如果离散时间信号为 $z[n]$，其差分为 $z[n]-z[n-1]$，则其Z变换为 $Z(z)-z^{-1}Z(z)$。因此，差分操作等价于在Z域中乘以 $1-z^{-1}$。

共轭对称性

如果离散时间信号为实数信号，则其Z变换在单位圆上是共轭对称的，即

$Z(z^)=Z(\frac{1}{z})^$

其中 $^*$ 表示共轭。

模长不降性

离散时间信号的模长不会在Z变换中减小，即 $|Z(z)| \geq |Z(0)|$。这个定理保证了信号的能量不会在Z域中损失。

以上是常见的Z变换属性，这些属性为我们理解和设计数字信号处理系统提供了重要的理论基础。