通过执行给定操作的最少次数使数组元素相等

给定一个包含 n 个整数的数组，你的任务是通过执行任意次数的以下操作将每个元素都变成相同的值：

1. 将一个元素加 1；
2. 将一个元素减 1；

你可以执行以上操作的次数任意次。

注意: 不允许将任何元素减少到负数

解法

我们可以通过找规律的方法来解决这个问题。

假设有n个数，首先我们从这n个数中找到最小值min和最大值max。

我们假设通过操作能够将所有的数变成k，所以我们可以列出如下的等式：

(k - x1) + (k - x2) + ... + (k - xn) = total_op

其中xi表示数组中的第i个元素，total_op表示执行操作的总次数。

我们可以对上式进行变形得到：

n * k - (x1 + x2 + ... + xn) = total_op

我们不难发现，括号中的内容等于数组元素的和sum。因此，上式又可以变为：

n * k - sum = total_op

在上式中，只有k是未知量，我们可以通过求解k来得到最少的操作数。

我们知道k必须满足的条件是：k在min与max之间，并且k使得上式最小。

因此，我们可以枚举从min到max的每一个数k，并计算出相应的操作次数total_op，最后取total_op的最小值即可。

代码实现：

class Solution:
    def minMoves(self, nums: List[int]) -> int:
        min_num = min(nums)
        max_num = max(nums)
        total_op = float('inf')
        for k in range(min_num, max_num+1):
            op = 0
            for num in nums:
                op += abs(num - k)
            total_op = min(total_op, op)
        return total_op

时间复杂度：$O(n^2)$

改进

我们这个算法的时间复杂度是$O(n^2)$的，因为我们需要枚举k，并计算操作次数。

但是我们可以通过前缀和的方法来优化计算操作次数的过程。

我们设s[i]表示数组中前i个元素的和（也可以称为前缀和），则上式变成了：

n * k - s[n] + s[i] - s[i-1] - (i - 1) * k + (n - i + 1) * k - s[i] + s[1] - (i - 1) * k = total_op

该式子可以变为：

n * k - s[n] + (n - 2 * i + 1)*k + s[i] - s[1] - (i - 1) * k = total_op

在该式子中，i是前缀和的下标，k是要求的常数，所有其他项都已知，我们可以通过求解k得到最小值。

代码实现：

class Solution:
    def minMoves(self, nums: List[int]) -> int:
        nums.sort()
        n = len(nums)
        s = [0] * (n+1)
        total = 0
        for i in range(1, n+1):
            s[i] = s[i-1] + nums[i-1]
        ans = float('inf')
        for i in range(1, n+1):
            total_op = n * nums[i-1] - s[n] + s[i-1] - (i-1) * nums[i-1] - s[i] + s[1] + (n-i) * nums[i-1]
            ans = min(ans, total_op)
        return ans

时间复杂度：$O(nlogn)$

总结

该题可以通过找规律的方式来解决。虽然暴力做法时间复杂度较高，但是可以通过前缀和的方式来优化。

另外，需要注意的是，该题要求结果为整数，因此在求最小值的过程中需要进行向下取整操作。