福特-富克森算法

福特-富克森算法（Ford-Fulkerson algorithm）是解决最大流问题的经典算法之一。它是基于增广路寻找方法，通过不断寻找增广路径并更新流的大小来求解最大流。最大流问题是指，在一个网络图中，每条边都有一个最大容量值，现在需要从源点到汇点流入的最大流量是多少。

算法原理

福特-富克森算法的主要思路是：不断沿着增广路径更新流，直到不存在增广路径。增广路径是指一条从源点到汇点的路径，它的流可以增加。具体步骤如下：

1. 初始化流量$f=0$
2. 寻找一条增广路径
   • 增广路径是指一条从源点到汇点的路径，它的流可以增加。可以通过广度优先搜索或深度优先搜索来寻找增广路径。
   • 一般情况下，增广路径的流量是路径上所有边的最小容量值。
3. 更新流
   • 将增广路径的流量加到当前的流中。
   • 更新增广路径上的边的残量容量：已经满流的边需要删除，剩余容量变为原来的容量减去增广路径的流量；未满流的边需要保留，容量变为剩余容量。
4. 重复步骤 2 和 3，直到不存在增广路径。

最后，从源点出发的所有边的流量之和就是最大流。

代码实现

福特-富克森算法的代码实现比较简单，我们可以使用深度优先搜索或广度优先搜索来查找增广路径。以下为深度优先搜索的代码实现：

def dfs(graph, s, t, f):
    # 如果当前点为汇点，则返回当前流
    if s == t:
        return f
    
    # 标记当前点已经访问过
    visited[s] = True
    
    # 遍历当前点的所有邻接点
    for i in range(len(graph[s])):
        if not visited[i] and graph[s][i] > 0:
            # 记录路径上的最小容量值，即 bottleneck
            bottleneck = min(f, graph[s][i])
            
            # 递归查找增广路径
            d = dfs(graph, i, t, bottleneck)
            
            # 如果找到了增广路径，更新流和残量图
            if d > 0:
                graph[s][i] -= d
                graph[i][s] += d
                return d
    return 0

def max_flow(graph, s, t):
    global visited
    max_flow = 0
    
    # 不断查找增广路径，直到不存在增广路径
    while True:
        visited = [False] * len(graph)
        d = dfs(graph, s, t, float('inf'))
        if d == 0:
            break
        max_flow += d
        
    return max_flow

总结

福特-富克森算法是解决最大流问题的一种经典算法，它是基于增广路寻找方法，通过不断寻找增广路径并更新流的大小来求解最大流。算法的核心思想比较简单，实现起来也比较容易，但需要注意代码实现过程中的一些细节问题，如如何寻找增广路径、如何记录路径上的 bottleneck 等。