检测图中的负循环 | (贝尔曼福特)

在图论中，负循环指的是在有向图中经过多次环路遍历后得到的总边权为负数的情况。负循环的存在会导致最短路径问题无法得出正确解，因此需要进行判别与处理。其中，贝尔曼福特算法是一种用于检测图中是否存在负循环的算法。

算法思路

贝尔曼福特算法是一种基于动态规划思想的算法，在其中，我们维护一个一维数组dis来保存每个点的到源点的最短距离。在算法初始时，dis中每个元素赋值为INF，除dis[src]=0外。然后对于每一条边$(u,v,w)$，我们尝试用dis[v]>dis[u]+w来更新dis[v]的值。如果这个过程没有更新出任何一条边，则算法结束；否则，我们继续进行$V-1$轮更新。其中$V$为图中的节点数。如果在第$V$轮更新中，依旧存在更新操作，说明图中存在负循环。

代码实现

def bellman_ford(V, src, edges):
    # 初始化dis数组
    dis = [float('inf')]*V
    dis[src] = 0

    # 进行V-1轮更新
    for i in range(V-1):
        flag = False
        for u, v, w in edges:
            if dis[v] > dis[u] + w:
                dis[v] = dis[u] + w
                flag = True
        if not flag:
            break

    # 检测负循环
    for u, v, w in edges:
        if dis[u] != float('inf') and dis[v] > dis[u]+w:
            return True

    return False

复杂度分析

贝尔曼福特算法的时间复杂度为$O(V\times E)$，其中$V$为节点数，$E$为边数。在最坏情况下需要进行$V-1$轮更新，每轮更新$E$条边，因此总共需要进行$V\times E$次操作。当然，在实际应用中，我们可以在每一轮更新中，记录下进行了哪些节点的更新操作。在下一轮更新中，仅针对上一轮更新中改变过的节点进行操作，进一步降低时间复杂度。

总结

贝尔曼福特算法可以有效地检测图中是否存在负循环。在实际应用中，我们通常会将贝尔曼福特算法作为SPFA算法的后备方案，当发现SPFA算法无法得出正确解时，使用贝尔曼福特算法检测是否存在负循环。